חוק סטוקס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 46:
ננחש פתרון מהצורה <math>\Psi(r,\theta) = sin^2(\theta)f(r)</math>. האופרטור E כאשר הוא פועל על פונקציה מהצורה הזאת שקול (ניתן להראות זאת) לאופרטור:
<math>sin^2(\theta)(\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac {2} {r^2}f(r)) = sin^2(\theta)g(r)</math>, כלומר הצורה הפונקציונלית נשמרת, ולכן הפעלת האופרטור פעמיים נותנת, לאחר גזירה ארוכה וכפל פי <math>r^4</math>:
<math>r^4\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - 4r^2\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + 8r\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.
ננחש פתרון מהצורה <math>f(r) = r^k</math> ונקבל לאחר צמצום <math>f(r) = r^{{k - 4}}</math> את הפולינום <math>k^4 -
<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>.
תנאי השפה של הבעיה מאפשרים לקבוע את ערכי המקדמים A,B,C,D. ברור שבאינסוף הזרימה לא מושפעת מהכדור ולכן מהירותה היא <math>U_0</math>, או לחלופין
<math>u_r(\infty,\theta) = U_0cos\theta</math>. כמו כן על שפת הכדור מתקיים: <math>u_r(a,\theta) = 0, u_{\theta}(a,\theta) = 0</math>. לפיכך הפתרון לשדה המהירות מסביב לכדור הוא:
<math>
<math>u_{{\theta}}(r,\theta) = U_0(-1 + \frac{3a}{4r} + \frac{a^3}{4r^3})sin\theta </math>
==תנועה בהשפעת גרביטציה==
| |||