הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

==תת-חבורות==
 
תת-קבוצה של חבורה <math>\ G</math> המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת '''תת-חבורה'''. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני אברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות [[קוסט|קוסטים]], בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה <math>\ gH = \{gh: h\in H\}</math>, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה <math>\ Hg = \{hg: h\in H\}</math>. מספר האברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האברים בתת-החבורה, ומכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: ה[[סדר של חבורה|סדר]] של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא ה'''אינדקס''' של תת-החבורה ומסומן <math>\ [G:H]</math>. כאשר החבורות סופיות מתקיים <math>[G:H]=\frac{|G|}{|H|}</math>.
 
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של אברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
78

עריכות