מרחב מנה – הבדלי גרסאות

בהינתן [[מרחב טופולוגי]] <math>\left(X,\tau_X \right)</math> וקבוצה <math>Y</math> (שעליה אין עדייןבהכרח מבנה טופולוגיטופולוגיה), עם פונקציה <math>\ f: X \rightarrow Y</math> שהיא על, נגדיר טופולוגיה על <math>Y</math> לפיעל ידי <math>\ \tau_Y= \left\{ U \sub Y : f^{-1} (U) \in \tau_X \right\}</math>, כאשר <math>\ \tau_X</math> הוא אוסף כל ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] ב-X. טופולוגיה זו נקראת '''טופולוגית המנה''', ופונקציה כזו נקראת '''פונקציית מנה'''. למעשה בדרך הזוזו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני: טופולוגית המנה על Y הינה הטופולוגיה העשירה ביותר שבעבורה f רציפה. כאשרכלומר, Xאם ו-<math>X,Y</math> הםשניהם מרחבים טופולוגיים ו-<math>f פונקציה רציפה מ-:X על\to Y</math> רציפה, אז הטופולוגיה הנתונה של <math>Y</math> עשויה להיות דלה יותר מטופולוגיית המנה.

כאשר <math>X</math> [[קומפקטיות|מרחב קומפקטי]] ו-<math>Y</math> [[מרחב האוסדורף]], ו-<math>f</math> פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגית המנה.

דרך נוספת להגדרת טופולוגית המנה היא על ידי [[יחס שקילות]]. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות E<math>R</math>, מרחב המנה X/Eהוא יהיהקבוצת מרחבמחלקות טופולוגיהשקילות שיוגדרביחס על<math>R</math>, ידיאותה "הדבקת"נסמן כל<math>X/R</math>, הנקודותכאשר שנמצאותהטופולוגיה באותהעליה מחלקתמתקבלת שקילות.כמו נוחבהגדרה לראות זאתלעיל על ידי ההגדרהפונקציה, הקודמתעבור כאשר <math>\ f=p</math>-פונקציית ההטלה של כל איבר ל[[מחלקת שקילות|מחלקתלמחלקות השקילות]] שלו, ו- Y=X/E.<br>