חתך חרוט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 30:
על פי [[משפט פסקל]], כל חתך חרוט נקבע באופן ייחודי באמצעות חמש נקודות שעליו, או באופן שקול, לכל חמש נקודות ישנו בדיוק חתך חרוט אחד שעובר דרך כולן. עם זאת במקרה של מעגל מספיקות שלוש נקודות, ובמקרה של פרבולה מספיקות ארבע נקודות.
== פיתוח גאומטרי קלאסי של תכונות חתכי החרוט ==
ההגדרה המקורית לעקומים הריבועיים (עקומים ממעלה שנייה) הייתה עקומים המהווים חתכי חרוט, כאשר רק זמן מה לאחר גילויים הוכח שחתכי חרוט מהווים עקומים ממעלה שנייה. להלן מובאים הפיתוחים הגיאומטריים הקלאסיים לתכונות הריבועיות של חתכי החרוט. הפיתוחים שמובאים כאן הופיעו לראשונה אצל [[אפולוניוס מפרגה]], אך אפולוניוס עצמו מציין שהטיעונים שלו לא מקוריים אלא מופיעים אצל מחברים מוקדמים יותר.
שורה 37:
[[קובץ:Parabolic Conic Section.png|שמאל|250px|ממוזער|תרשים גיאומטרי מתוך "הקוניקה" של אפולוניוס. מציג את פרטי ההוכחה שלו לתכונה הריבועית של הפרבולה.]]
אפולוניוס מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"[[יסודות]]" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת קטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, אם נסתכל על המישור העובר דרך נקודות K,Q ו-H באיור, אז נקבל אודות לסימטריה ולמשפט של אוקלידס ש-: <math>VQ^2 = HV\cdot VK</math>.
כעת נעזר בתכונה שחתך החרוט הפרבולי מתקבל על ידי חיתוך החרוט עם מישור ש'''מקביל''' לאחד הקווים היוצרים שלו - לכן מרובע <math>VKMC</math> הוא [[מקבילית]] ו-<math>MC = VK</math>. מכאן נקבל <math>VQ^2 = HV\cdot MC</math>. אם ניעזר בעובדה שמשולשים <math>PHV</math> ו-
<math>PBM</math> [[דמיון|דומים]] נקבל: <math>VQ^2 = HV\cdot MC = BM\cdot (HV/BM)\cdot MC = MD^2\cdot (HV/BM) = MD^2\cdot (PV/PM)</math>, במעברים האחרונים נעזרנו בדמיון משולשים וביישום המשפט של אוקלידס למעגל העובר דרך נקודות B,D ו-C. קיבלנו: <math>VQ^2 = MD^2\cdot (PV/PM)</math> ומכך נובע: <math>VQ^2/PV = MD^2/PM</math> כלומר יש יחס קבוע בין ריבוע האורך של הפרבולה בציר אחד לאורך שלה בציר השני, וזו בדיוק התכונה הריבועית של הפרבולה.
'''מ.ש.ל'''
==חתכי חרוט בפיזיקה==
| |||