הבדלים בין גרסאות בדף "חתך חרוט"

הוסרו 8 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
בוט החלפות: גאומטרי, לינארי, ישר-זווית
מ (בוט החלפות: גאומטרי, לינארי, ישר-זווית)
== פיתוח גאומטרי קלאסי של תכונות חתכי החרוט ==
 
ההגדרה המקורית לעקומים הריבועיים (עקומים ממעלה שנייה) הייתה עקומים המהווים חתכי חרוט, כאשר רק זמן מה לאחר גילויים הוכח שחתכי חרוט מהווים עקומים ממעלה שנייה. להלן מובאים הפיתוחים הגיאומטרייםהגאומטריים הקלאסיים לתכונות הריבועיות של חתכי החרוט. הפיתוחים שמובאים כאן הופיעו לראשונה אצל [[אפולוניוס מפרגה]], אך אפולוניוס עצמו מציין שהטיעונים שלו לא מקוריים אלא מופיעים אצל מחברים מוקדמים יותר.
 
=== הפרבולה ===
[[קובץ:Parabolic Conic Section.png|שמאל|250px|ממוזער|תרשים גיאומטריגאומטרי מתוך "הקוניקה" של אפולוניוס. מציג את פרטי ההוכחה שלו לתכונה הריבועית של הפרבולה.]]
 
אפולוניוס מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, אם נסתכל על המישור העובר דרך נקודות K,Q ו-H באיור, אז נקבל אודות לסימטריה ולמשפט של אוקלידס ש-: <math>VQ^2 = HV\cdot VK</math>.
=== אליפסה ===
 
ניתן ליישם את צורת ההסקה הזאת גם לאליפסה, אלא שהביטוי לריבוע מחצית הרוחב של החתך החרוטי הספציפי מוחלף בביטוי מסוג אחר. אם נסתכל על הביטוי שהתקבל מהמשפט של אוקלידס במקרה הפרבולי: <math>VQ^2 = HV\cdot VK</math>, אז נקבל שבמקרה של אליפסה לא ניתן להחליף את VK ב-MC שכן כאשר החרוט מתרחב מתקיים <math>MC < VK</math> (הקו היוצר כבר לא מקביל למישור, והם מתקרבים זה לזה). כיוון שמדובר בקווים ישרים ניתן לקשר בין VK ל-MC על ידי ביטוי ליניארילינארי מסוים, כלומר: <math>MC = VK - \alpha VM </math>. לכן נקבל:
<math>MD^2 = BM\cdot MC = BM\cdot (VK - \alpha VM) = (HV + \beta VM)\cdot (VK - \alpha VM) </math>.
 
קיבלנו ש-<math>MD^2 </math> הוא ביטוי ריבועי ב-VM. אם נכייל את הביטוי הריבועי כך ש-V יימצא בנקודה בה VQ מקסימלי (במינוח מודרני, נציב את ראשית הצירים במרכז האליפסה), נפטר מן החלק הליניאריהלינארי של הביטוי הריבועי ונקבל:
<math>MD^2 = L - \alpha \beta VM^2 </math>, כאשר L הוא קבוע חיובי כלשהו. קיבלנו את משוואת האליפסה.
 
=== עבודתו של מנכמוס ועבודות אחרות ===
 
מוערך כי ההגדרה הראשונה של חתך החרוט ניתנה על ידי [[מנכמוס]] (שמת בשנת 320 לפנה"ס) כחלק מהפתרון שלו ל[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם|בעיית הכפלת הקובייה]] הדליאנית. עבודתו לא שרדה, והשמות בהם הוא השתמש כדי להתייחס לחתכי החרוט השונים אינם ידועים. עבודתו ידועה רק באמצעות מקורות משניים. האופן שבו סיווג מנכמוס את חתכי החרוט שונה מהשיטה המודרנית. חרוטים נוצרו על ידי סיבוב משולש ישר -זווית סביב אחד מניצביו כך שהיתר שלו ייצור את פני המשטח החרוטי (היתר נקרא קו יוצר). חרוטים חולקו לשלושה מחלקות לפי זווית הראש שלהם (שנמדדת כפעמיים הזווית בין היתר לניצב שסובבים סביבו במשולש ישר הזווית המקורי). חתכי החרוט נקבעו על ידי חיתוך החרוטים האלה עם מישור שניצב לאחד הקווים היוצרים שלהם. סוג החתך החרוטי נקבע אז לפי סוג החרוט, כלומר לפי זווית הראש של החרוט; אם זווית הראש היא חדה אז החתך יהיה אליפטי; אם הזווית ישרה אז החתך יהיה פרבולי; ואם הזווית קהה הוא יהיה היפרבולי.
 
מקורות קדומים מייחסים ל[[אוקלידס]] כתיבה של ארבעה ספרים על חתכי חרוט אך אלו גם אבדו. ידוע ש[[ארכימדס]] חקר חתכי חרוט ,וקבע את השטח התחום על ידי פרבולה ומיתר שלה בחיבורו [[תרבוע הפרבולה]]. תחום העניין המרכזי שלו היה בקביעת שטחים ונפחים הקשורים לחתכי חרוט וחלק מעבודתו שרד בספרו על [[גופי סיבוב של חתכי חרוט]], [[על קונואידים וספרואידים]].