חתך חרוט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: גאומטרי, לינארי, ישר-זווית |
|||
שורה 32:
== פיתוח גאומטרי קלאסי של תכונות חתכי החרוט ==
ההגדרה המקורית לעקומים הריבועיים (עקומים ממעלה שנייה) הייתה עקומים המהווים חתכי חרוט, כאשר רק זמן מה לאחר גילויים הוכח שחתכי חרוט מהווים עקומים ממעלה שנייה. להלן מובאים הפיתוחים
=== הפרבולה ===
[[קובץ:Parabolic Conic Section.png|שמאל|250px|ממוזער|תרשים
אפולוניוס מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, אם נסתכל על המישור העובר דרך נקודות K,Q ו-H באיור, אז נקבל אודות לסימטריה ולמשפט של אוקלידס ש-: <math>VQ^2 = HV\cdot VK</math>.
שורה 46:
=== אליפסה ===
ניתן ליישם את צורת ההסקה הזאת גם לאליפסה, אלא שהביטוי לריבוע מחצית הרוחב של החתך החרוטי הספציפי מוחלף בביטוי מסוג אחר. אם נסתכל על הביטוי שהתקבל מהמשפט של אוקלידס במקרה הפרבולי: <math>VQ^2 = HV\cdot VK</math>, אז נקבל שבמקרה של אליפסה לא ניתן להחליף את VK ב-MC שכן כאשר החרוט מתרחב מתקיים <math>MC < VK</math> (הקו היוצר כבר לא מקביל למישור, והם מתקרבים זה לזה). כיוון שמדובר בקווים ישרים ניתן לקשר בין VK ל-MC על ידי ביטוי
<math>MD^2 = BM\cdot MC = BM\cdot (VK - \alpha VM) = (HV + \beta VM)\cdot (VK - \alpha VM) </math>.
קיבלנו ש-<math>MD^2 </math> הוא ביטוי ריבועי ב-VM. אם נכייל את הביטוי הריבועי כך ש-V יימצא בנקודה בה VQ מקסימלי (במינוח מודרני, נציב את ראשית הצירים במרכז האליפסה), נפטר מן החלק
<math>MD^2 = L - \alpha \beta VM^2 </math>, כאשר L הוא קבוע חיובי כלשהו. קיבלנו את משוואת האליפסה.
שורה 77:
=== עבודתו של מנכמוס ועבודות אחרות ===
מוערך כי ההגדרה הראשונה של חתך החרוט ניתנה על ידי [[מנכמוס]] (שמת בשנת 320 לפנה"ס) כחלק מהפתרון שלו ל[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם|בעיית הכפלת הקובייה]] הדליאנית. עבודתו לא שרדה, והשמות בהם הוא השתמש כדי להתייחס לחתכי החרוט השונים אינם ידועים. עבודתו ידועה רק באמצעות מקורות משניים. האופן שבו סיווג מנכמוס את חתכי החרוט שונה מהשיטה המודרנית. חרוטים נוצרו על ידי סיבוב משולש ישר
מקורות קדומים מייחסים ל[[אוקלידס]] כתיבה של ארבעה ספרים על חתכי חרוט אך אלו גם אבדו. ידוע ש[[ארכימדס]] חקר חתכי חרוט ,וקבע את השטח התחום על ידי פרבולה ומיתר שלה בחיבורו [[תרבוע הפרבולה]]. תחום העניין המרכזי שלו היה בקביעת שטחים ונפחים הקשורים לחתכי חרוט וחלק מעבודתו שרד בספרו על [[גופי סיבוב של חתכי חרוט]], [[על קונואידים וספרואידים]].
| |||