חוג (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

'''חוג''' הוא מבנה הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ R</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] {{הערה|פרוש הדבר כי שתי הפעולות מוגדרות על איברים בקבוצה R ומניבים תוצאה שהיא גם איבר ב-R }} המסומנות כחיבור וכפל, המקיימות מספר אקסיומות המכונות "אקסיומות החוג":

 

# פעולת החיבור [[חילופיות|חילופית]] (קומוטטיבית) - ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' לכל האיברים ''a'', ''b'' בקבוצה ''R''

# קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור

# מתקיים [[חוק הפילוג]] (כלומר <math>\ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z</math> וכן <math>(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</math>)

אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, [[חוג המספרים השלמים]] חילופי, אך חוג ה[[מטריצה|מטריצות]] אינו חילופי.

 

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של [[איבר יחידה]], נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים <math>\ ex = x</math> לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.