ממד קרול – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: אידאל |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 7:
נניח כי ''R'' הוא חוג, וכי <math>\,P_0,P_1,\dots,P_n</math> הם [[אידאל ראשוני|אידאלים ראשוניים]] ב''R'', כך ש<math>\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n</math>. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך ''n''. '''ממד קרול הקטן''' של ''R'' הוא ה[[חסם עליון|חסם העליון]] של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים, והוא סופי או שווה לאינסוף. מסמנים אותו ב-<math>\ \operatorname{k-dim}(R)</math>.
לדוגמה, האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים <math>\,\mathbb{Z}</math> הם אידאלים ראשיים מהצורה <math>p\mathbb{Z}</math> כאשר ''p'' [[מספר ראשוני]], וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת <math>\,(0) \subsetneq p\mathbb{Z}</math>. לפיכך ממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. בדומה לזה, ממד קרול של כל [[תחום ראשי]] הוא 1. האידאל הראשוני היחיד ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא אידאל האפס, לכן ממד קרול של כל שדה הוא 0.
לכל אידאל ראשוני ב[[חוג PI]] נתרי יש גובה סופי (אך ממד קרול הקטן של חוג כזה עשוי להיות אינסופי).
| |||