מספר אי-רציונלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי: הוספתי מראה מקום בספרות המדעית להוכחה הלא קונסטרוקטיבית |
|||
שורה 34:
==מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי==
מספר אי-רציונלי ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי. [[הוכחה לא קונסטרוקטיבית]] לכך {{הערה|1= Jarden, D., Curiosa No. 339, Scripta Mathematica 19 (1953),
p.229 {{אנגלית}}}} ניתנת על ידי הצגת המספר <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> והמספר <math>(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}=2</math>. קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי. מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו. לדוגמה זו בפרט ניתן להוכיח כי <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> הוא טרנסצנדנטי תוך שימוש ב[[משפט גלפונד-שניידר]] האומר כי אם a הוא אלגברי שאינו 0 או 1 ו-b הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, אז <math>\ a^b</math> הוא טרנסצנדנטי.{{הערה|1=[http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.3-5.shtml Rational Irrational Power], Math Fun Facts {{אנגלית}}}}
| |||