זווית היפרבולית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 34:
הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה [[אוגוסטוס דה מורגן]] בספרו Trigonometry and Double Algebra.
ב-1914 Ludwik Silberstein פרסם את חיבורו על [[תורת היחסות הפרטית|תורת היחסות]] החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. Silberstein הראה שניתן לפרש את [[טרנספורמציות לורנץ]] כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות ה[[מרחב זמן]]; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול <math> c^2t^2 - x^2 = 1 </math> (או פשוט <math> t^2 - x^2 = 1 </math> כאשר מכיילים את [[מהירות האור]] ל-c = 1) כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת <math> \beta </math> בדרך זאת:
* אם נציב tanh a = v/c בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל:
<math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right) = \gamma t = \frac {{1}}{{\sqrt {{1 - (tanh(a))^2}}}}*1 = cosh(a) = t'</math> (במעבר האחרון השתמשנו ב-x = 0, t = 1).
* הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות:
<math>c\tanh(a + b) = c\frac{\tanh(a) +\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}} = v_{1+2} \,</math>.
== זווית היפרבולית כזווית מעגלית מדומה ==
| |||