כפייה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות

הבעיות המרכזיות של תורת הקבוצות עוסקות בטענות (על תכונות של [[מספר סודר|סודרים]] או של [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]] למשל), העשויות לנבוע או שלא לנבוע ממערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] נתונה. כדי להוכיח שטענה מסוימת היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]] במסגרת התאוריה, יש לבנות לה [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]]: אוסף של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], המקיים את מערכת האקסיומות (ואת ההנחות הנוספות שאנו עשויים להניח) ואת הטענה הנבדקת. הוכחה כזו מראה שאי-אפשר '''[[הפרכה|להפריך]]''' את הטענה במסגרת אותה תאוריה. מאידך, אם אפשר לבנות גם מודל אחר, שבו מתקיימות האקסיומות (וההנחות הנוספות) אבל הטענה הנבדקת אינה נכונה, נובע מכך שאי-אפשר '''להוכיח''' את הטענה, ומכאן שהיא [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאית]].

 

 

באופן פורמלי, הבנייה של גדל מתחילה ממודל כלשהו של תורת הקבוצות (ללא דרישת אקסיומת הבחירה) M, ומגדירה בתוכו את ה[[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] L של כל הקבוצות הניתנות לבנייה. כעת ניתן להראות שכל האקסיומות של ZFC מתקיימות ב-L ובנוסף מתקיימות בו [[השערת הרצף|השערת הרצף המוכללת]] וטענות קומבינטוריות חזקות נוספות, מה שמוכיח את עקביותן. שיטה זו של לקיחת [[מודל פנימי|מודלים פנימיים]] של מודל נתון (כלומר הצטמצמות למחלקה של קבוצות בתוך המודל) תשמש בהמשך לבניות של מודלים נוספים, ובין השאר מודלים שלא מקיימים את אקסיומת הבחירה, אך ללא צעד נוסף לא נוכל להשתמש בה כיוון שקיום המחלקה L מוכיח את העקביות של [[אקסיומת הבנייה]] (V=L) ואם נבצע את הבנייה של L בתוך L נקבל את כל L בחזרה. לכן על ידי לקיחת מודלים פנימיים בלבד לא ניתן להוכיח אפילו את עקביות הטענה <math>V \neq L</math> במסגרת ZFC. כדי להוכיח טענות נוספות נצטרך להרחיב את המודל.