ויקיפדיה

טנזור – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
סקריפט החלפות (,)
שורה 3:
ב[[מתמטיקה]], '''טֶנזוֹר''' (או '''טנסור''') הוא פונקציה מולטי-לינארית. ב[[פיזיקה]] טנזור הוא מערך רב-ממדי של רכיבים המייצגים גודל פיזיקלי שיש לו טרנספורמציה מוגדרת תחת שינוי [[קואורדינטות]].
 
את הטנזור ניתן להגדיר כ[[העתקה לינארית|העתקה מולטי-לינארית]] של [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] ו [[פונקציונל|פונקציונלים]] אל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math>. טנזור שממפה k וקטורים מ[[מרחב וקטורי]] V ו-m פונקציונלים מ[[המרחב הדואלי]] *V נקרא "טנזור מדרגה m על k". ברם, בשימושים מעשיים - בייחוד ב[[פיזיקה]] ו[[הנדסה]] - נוח לעבוד דווקא עם הרכיבים של הווקטור, המייצגים אותו ב[[קואורדינטות|מערכת קואורדינטות]] מסוימות. מערך הרכיבים של הווקטור כן תלוי בקואורדינטות ומשתנה בצורה "קו-ואריאנטית כללית" (מונח זה יוסבר בהמשך).
 
טנזור פיזיקלי יכול להיות [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]] (טנזור מדרגה 0), [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] (טנזור מדרגה 1), [[מטריצה|ומטריצה]] (טנזור מדרגה 2). קיימים גם טנזורים בעלי אינדקס גבוה יותר, אולם 3 הגדלים שהוזכרו (סקלר, וקטור ומטריצה) הם השימושיים ביותר. ניתן לכתוב טנזורים במונחים של [[מערכת צירים]], כמערך של סקלרים, אך הם מוגדרים כך כדי להיות חופשיים מכל [[מערכת ייחוס]]. כאמור, טנזורים משמשים ב[[פיזיקה]] וב[[הנדסה]]. אחת הדוגמאות החשובות ביותר הינה [[טנזור מאמצים]], שהינו טנזור מדרגה שנייה ([[מטריצה]]).
שורה 33:
זוהי הגישה המתמטית הרגילה, הכוללת הגדרת [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מסוימים ללא קביעת כל מערכת קואורדינטות עד להצגת הבסיסים כשנידרש. וקטורים קו-וריאנטיים, למשל, ניתנים לתיאור גם כאלמנטים [[מרחב דואלי|במרחב הדואלי]] (זהו מרחב ה[[פונקציונל|פונקציונלים הלינאריים]] מעל המרחב הווקטורי) לווקטורים הקונטרה-וריאנטיים.
 
הגישה המודרנית מתייחסת לטנזורים בראש ובראשונה כעצמים מופשטים, המבטאים סוג מוגדר של מושג מולטי-לינארי. תכונותיהם המדויקות ניתנות לגזירה מהגדרותיהם, כמיפויים לינאריים וכללי העבודה עם טנזורים עולים כהרחבה מ[[אלגברה לינארית|מאלגברה לינארית]] [[אלגברה מולטילינארית|לאלגברה מולטי-לינארית]]. טיפול זה החליף באופן גורף את הגישה הקלאסית לאחר שזו סיפקה מניע בסיסי למושג וקטור. ניתן לומר כי 'טנזורים הם רכיבים של מרחב טנזורי כלשהו'.
 
== מהו טנזור - הגדרה פורמלית ==
שורה 40:
 
קבוצת הטנזורים <math> {m \choose k} </math> מהווה [[מרחב לינארי]] ביחס לחיבור טנזורים וכפל בסקלר
: <math>\ \alpha T( \tilde{\omega} , \vec{v} ) + \beta S(\tilde{\omega} , \vec{v}) = ( \alpha T + \beta S) (\tilde{\omega} , \vec{v}) \in \left\{ \mbox{tensor space of } {m \choose k} \right\} </math>
אפשר להגדיר פעולות נוספות בין טנזורים, כגון [[מכפלה טנזורית]], "כיווץ" (לקיחת [[עקבה (אלגברה)|עקבה]] על זוג אינדקסים עליון ותחתון) ו[[נגזרת קו-וריאנטית]] שיוצרות טנזור חדש (בדרגה שונה בדרך כלל) מטנזור נתון.
 
הרבה פעמים נוח להציג את הטנזור כמערך רב-ממדי של רכיבים המתארים את הטנזור. אנו נראה שהצגה כזו שקולה להגדרתו כהעתקה מולטי-לינארית. מאחר שרכיבי הטנזור תלויים בבסיס בו מייצגים את המרחב, עלינו לקבוע בסיס כלשהו למרחב הווקטורי ולמרחב הדואלי לו.
 
יהי <math>\ \hat{e}_1 , ... , \hat{e}_n</math> בסיס למרחב הווקטורי V ואילו <math>\ \hat{f}^1 , ... , \hat{f}^n</math> בסיס למרחב הדואלי כך ש <math>\ \hat{f}^\mu ( \hat{e}_\nu ) = \delta^\mu_\nu</math> (כאשר <math>\delta^\mu_\nu</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]). אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס. הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:▼
 
▲יהי <math>\ \hat{e}_1 , ... , \hat{e}_n</math> בסיס למרחב הווקטורי V ואילו <math>\ \hat{f}^1 , ... , \hat{f}^n</math> בסיס למרחב הדואלי כך ש <math>\ \hat{f}^\mu ( \hat{e}_\nu ) = \delta^\mu_\nu</math> (כאשר <math>\delta^\mu_\nu</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]). אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס. הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:
* '''טנזור מדרגה 0 על 1''', כלומר: <math>T ( \vec{v} \in V ) \in \mathbb{R}</math>, יוצג לפי רכיבים כ-
*: <math>\ T(\vec{v}) = T \left( \sum_{\mu} v^\mu \hat{e}_\mu \right) = \sum_i v^\mu T( \hat{e}_\mu ) \equiv \sum_i v^\mu T_\mu</math>
: כאשר השתמשנו בלינאריות של T והגדרנו <math>\ T_\mu = T( \hat{e}_\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור T . נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על וקטור, או '''וקטור קו-וריאנטי'''. טנזור כזה נקרא גם "חד-תבנית" או "one-form".
 
* '''טנזור מדרגה 1 על 0''', כלומר: <math>S ( \tilde{\omega} \in V^* ) \in \mathbb{R}</math>, יוצג לפי רכיבים כ-
*: <math>\ S(\tilde{\omega}) = S \left( \sum_{\mu} \omega_\mu \hat{f}^\mu \right) = \sum_\mu \omega_\mu S( \hat{f}^\mu ) \equiv \sum_\mu \omega_\mu S^\mu</math>
: כאשר השתמשנו בלינאריות של S והגדרנו <math>\ S^\mu = S( \hat{f}^\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור S. נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על פונקציונל, כלומר '''וקטור קונטרה-וריאנטי''' (זאת כי <math>\ (V^*)^* = V</math>).
* '''טנזור מדרגה 1 על 1''', כלומר: <math>R ( \tilde{\omega} \in V^*,\ \vec{v} \ \in V ) \in \mathbb{R}</math>, יוצג לפי רכיבים כ-▼
 
: <math>\ R( \tilde{\omega} , \vec{v} ) = R \left( \sum_{\mu} \omega_\mu \hat{f}^\mu , \sum_{\nu} v^\nu \hat{e}_\nu \right) = \sum_\mu \sum_\nu \omega_\mu v^\nu R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) \equiv \sum_{\mu , \nu} \omega_\mu v^\nu R^\mu \!\ _\nu = \sum_{\mu,\nu}{ \omega_\mu R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math>▼
▲* '''טנזור מדרגה 1 על 1''', כלומר: <math>R ( \tilde{\omega} \in V^*,\ \vec{v} \ \in V ) \in \mathbb{R}</math>, יוצג לפי רכיבים כ-
: כאשר השתמשנו בלינאריות של R והגדרנו <math>\ R^\mu \!\ _\nu = R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) </math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור R. מאחר שטנזור זה בעל שני אינדקסים ניתן להציג את רכיביו כ[[מטריצה]] אליה נוח להתייחס כאל [[העתקה לינארית]] המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי <math>\ \vec{u} = R( \ \ , \vec{v} )</math> (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי). ברכיבים: <math>\ u^\mu = \sum_{\nu}{ R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math> .▼
▲: <math>\ R( \tilde{\omega} , \vec{v} ) = R \left( \sum_{\mu} \omega_\mu \hat{f}^\mu , \sum_{\nu} v^\nu \hat{e}_\nu \right) = \sum_\mu \sum_\nu \omega_\mu v^\nu R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) \equiv \sum_{\mu , \nu} \omega_\mu v^\nu R^\mu \!\ _\nu = \sum_{\mu,\nu}{ \omega_\mu R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math>
▲: כאשר השתמשנו בלינאריות של R והגדרנו <math>\ R^\mu \!\ _\nu = R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) </math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור R. מאחר שטנזור זה בעל שני אינדקסים ניתן להציג את רכיביו כ[[מטריצה]] אליה נוח להתייחס כאל [[העתקה לינארית]] המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי <math>\ \vec{u} = R( \ \ , \vec{v} )</math> (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי). ברכיבים: <math>\ u^\mu = \sum_{\nu}{ R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math> .
 
באופן כללי, טנזור שמקבל כארגומנטים m פונקציונלים ו-k וקטורים יהיה בעל m אינדקסים עליונים ו-k אינדקסים תחתונים. כל אינדקס עליון מתנהג כמו וקטור קונטרה-וריאנטי וכל אינדקס תחתון מתנהג כמו וקטור קו-וריאנטי.
שורה 71 ⟵ 68:
ביריעה כלשהי, נהוג לדבר רק על בסיס לוקלי, או [[קואורדינטות]] לוקליות. זוהי מערכת קואורדינטות המוגדרת היטב רק ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] קטנה מספיק של הנקודה. מערכת קואורדינטות זו פורשת את מה שנקרא "[[המרחב המשיק]]" לנקודה.
 
את המרחב המשיק לנקודה אפשר לתאר כמרחב כל הנגזרות הכיווניות בנקודה, כלומר: מרחב כל העקומות ביריעה העוברות דרך הנקודה, כאשר כל עקומה מגדירה וקטור משיק בנקודה המייצג [[נגזרת כיוונית]] לאורך הווקטור. אם נתונה מערכת קואורדינטות <math>\ \{ x^1 , ... , x^n \}</math> (האינדקס העליון לא מייצג חזקה, אלא פשוט אינדקס מונה) אזי הבסיס למרחב המשיק בנקודה a הוא
: <math>\ \left\{ \partial_{x^i} = \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_a \ \right\}_{i=1}^{n} </math>
בסיס זה נקרא "בסיס הנגזרות החלקיות המתאימות למערכת x".
שורה 77 ⟵ 74:
 
=== הטנזור כגודל אינווריאנטי ===
מנקודת ראות מופשטת, הווקטור בנקודה a הוא מעין "[[חץ]]" שקיים במרחב המשיק של a וקיים ללא תלות במערכת הקואורדינטות בה מתארים אותו. לא משנה באיזה צורה נתאר את הווקטור, החץ ישאר אותו חץ. בשפה מקצועית אנו אומרים שהווקטור הוא בעצם [[גודל אינווריאנטי]] תחת שינוי קואורדינטות.
 
ברם, הרכיבים של הווקטור - מערך של מספרים v<small>i</small> התלוי בקואורדינטות שנבחרו ומתאר את הווקטור במרחב המשיק על ידי
שורה 84 ⟵ 81:
 
=== התמרת קואורדינטות עבור טנזורים ===
נניח מרחב משיק בנקודה כלשהי ויהי <math> \vec{v} </math> וקטור במרחב זה. נגדיר עליו שתי מערכות קואורדינטות שונות: <math>\ ( x^1 , \cdots , x^n ) </math> ו <math>\ ( y^1 , \cdots , y^n ) </math> . אזי לווקטור <math> \vec{v} </math> יש שתי הצגות:
: <math>\ \vec{v} = \sum_{i}{ v^i \partial_{x^i}} = \sum_{j}{ v'^j \partial_{y^j} } </math>
מטריצת המעבר בין הבסיסים היא פשוט שימוש ב[[כלל השרשרת]] של נגזרות חלקיות:
: <math>\ \partial_{y^j} = \sum_{i}{ \frac{ \partial x^i}{\partial y^j} \partial_{x^i}} </math>
שורה 91 ⟵ 88:
 
נציב קשר זה בנוסחה הקודמת בה מתואר v על ידי הקואורדינטות המוגדרות לכל בסיס בהתאמה,
: <math> \sum_{i}{ v^i \partial_{x^i} } = \vec{v} = \sum_{j}{ v'^j \partial_{y^j} } = \sum_{j}{ v'^j \sum_{i}{ \frac{ \partial x^i}{\partial y^j} \partial_{x^i} } = \sum_{i}{ \left( \sum_{j} { v'^j \frac{ \partial x^i}{\partial y^j} } \right) \partial_{x^i}} } </math>
 
מאחר שהנגזרות החלקיות לפי x הן בסיס נובע שבו יש ל-v הצגה יחידה ולכן נוכל להשוות את הסכומים איבר-איבר לפי מקדמים ולקבל ש
: <math>\ v^i = \sum_{j} { \left( \frac{ \partial x^i}{\partial y^j} \right)_a v'^j } \quad \mbox{ } </math> או באופן שקול: <math>\ v'^j = \sum_{i}{ \left( \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right)_a v^i } \quad \mbox{ } </math>
וזהו כלל ההתמרה של קואורדינטות של וקטורים. וקטורים שמותמרים לפי כלל זה נקראים "[[וקטור קונטרה-וריאנטי|וקטורים קונטרה-וריאנטים]]" מאחר שהקואורדינטות מותמרות בצורה הפוכה לבסיס.
 
את המסקנה לעיל אפשר להכליל באותו אופן גם עבור וקטורים קו-ואריאנטים (הם למעשה תבניות לינאריות - [[פונקציונל|פונקציונלים]] - במרחב הדואלי למרחב המשיק) ועבור טנזורים בעלי מספר אינדקסים.
 
=== כללים מעשיים ===
שורה 104 ⟵ 101:
הגודל הימני נקרא "טנזור קונטרה-וריאנטי" ואילו השמאלי נקרא "טנזור קו-ואריאנטי". {{ש}}
ההכללה לטנזור מדרגה כלשהי (עם מספר אינדקסים עליונים m ומספר וקטורים תחתונים n) היא מיידית. למשל, עבור טנזור-(1,2) כלל המעבר בין קואורדינטות הוא
: <math>\! {B'} ^{\mu}_{\nu \lambda} = \frac{d x^{\prime\mu}}{d x^\alpha} \frac{ d x^{\beta}}{d x^{\prime \nu}} \frac{ d x^{\gamma} }{d x^{\prime \lambda} } B^{\alpha}_{\beta \gamma} </math>
את שתי הנוסחאות האחרונות יש להבין לפי [[הסכם הסכימה של איינשטיין]] בו אינדקס המופיע פעמיים, פעם כעליון ופעם כתחתון, יש לפרש כסכימה על כל ערכי האינדקס: <math>\ a^\mu b_\mu \equiv \sum_{\mu}{ a^\mu b_\mu}</math>.
 
שורה 117 ⟵ 114:
כמה דוגמאות ידועות של טנזורים הן [[טנזור העקמומיות]], [[טנזור תנע-אנרגיה]], [[טנזור השדה האלקטרומגנטי]], [[מומנט התמד|טנזור אינרציה]], [[טנזור קיטוב|וטנזור הקיטוב]].
 
גדלים פיזיקליים וגאומטריים ניתנים לסיווג לפי [[דרגות חופש|דרגות החופש]] הטבועות בתיאורם. הגדלים הסקלריים הם אלו שניתנים לייצוג על ידי מספר בודד, לדוגמה: [[מסה]] או [[טמפרטורה]]. ישנן גם גדלים וקטוריים, כגון [[כוח (פיזיקה)|כוח]] או [[מהירות]], שלתיאורם נדרשת רשימת מספרים. לבסוף, הצגת גדלים כגון [[צורות קוואדרטיות]] (ריבועיות) דורשת מערך המסומן במספר אינדקסים. הסוג האחרון של גדלים ניתן להבנה רק כטנזורים.
 
למעשה, מושג הטנזור הוא די כללי, ומוחל לגבי כל הדוגמאות הנ"ל; סקלרים ווקטורים הם סוגים מיוחדים של טנזורים. התכונה המבדילה בין סקלר לווקטור, ואת שניהם מגדלים טנזוריים כלליים נוספים הוא מספר האינדקסים הנדרשים לייצוג. מספר זה קרוי ה'''דרגה''' או ה'''סדר''' של הטנזור. לכן, סקלרים הם טנזורים מדרגה אפס (ללא כל אינדקסים), וקטורים הם טנזורים מדרגה אחד ומטריצות מדרגה שתיים.
שורה 124 ⟵ 121:
 
==דרגת הטנזור והמרת טנזורים==
{| id=toc cellspacing="2" cellpadding="4" align="center" border=2 style="text-align:center;"
|-
| bgcolor="#ccccff" | '''שם'''
שורה 144 ⟵ 141:
| 2
| A<small>ij</small>
| align=center | <math>\ (A')^{ij} = R^i_m R^j_n A^{mn} </math>
|-
| טנזור מדרגה 3
| 3
| A<sup>ijk</sup>
| align=center | <math>\ (A')^{ijk} = R^i_m R^j_n R^k_p A^{mnp} </math>
|}
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/טנזור"