מרחב מכפלה פנימית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 43:
==דוגמאות למכפלות פנימיות==
* [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הסטנדרטית ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^3</math> שנתונה על ידי <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos \theta</math> (כאשר <math>\theta</math> היא ה[[זווית]] בין ה[[וקטור (פיזיקה)|ווקטורים]]) היא מכפלה פנימית.▼
* יהי <math> V = \{ \vec{x} = ( x_1, \cdots , x_n )|x_i\in\mathbb{F} \}=\mathbb{F}^n</math> מרחב וקטורי.
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{R}</math> אזי [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n </math> היא מכפלה פנימית.
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{C}</math> אזי [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 \overline{y_1} + \cdots + x_n \overline{y_n} </math> היא מכפלה פנימית.
▲* [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הסטנדרטית ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^3</math> שנתונה על ידי <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos \theta</math> (כאשר <math>\theta</math> היא ה[[זווית]] בין ה[[וקטור (פיזיקה)|ווקטורים]]) היא מכפלה פנימית.
* עבור שתי [[מטריצה|מטריצות]] מאותו סדר A ו-B, הגודל <math>\mathrm{tr}(AB^t)</math> (כלומר ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של ה[[כפל מטריצות|מכפלה]] של האחת ב[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] של השנייה) הוא מכפלה פנימית.
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math> . אם נחליף את <math>\ I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>\ A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית.
| |||