אלגברה מדורגת – הבדלי גרסאות

אלגברה מדורגת היא אלגברה <math>\ A</math> שיש לה פירוק ל[[סכום ישר]] <math>\ A = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots</math> של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: <math>\ A_n A_m \subseteq A_{n+m}</math>. כל אחד מן המרכיבים <math>\ A_n</math> נקרא '''מרכיב הומוגני''', והאיברים של המרכיבים האלה הם '''איברים הומוגניים'''. כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות. ה'''דרגה''' של איבר הומוגני ב- <math>\ A_n</math> היא n. את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: <math>\ \deg(ab) = \deg(a)+\deg(b)</math> לכל שני איברים הומוגניים a,b.

 

 

=== דוגמאות ===

אומרים כי אלגברה היא '''מדורגת-נילית''' אם כל אבר הומוגני הוא נילפוטנטי. לפי משפט של Bergman, רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה מדורגת הוא מדורג-נילי. Lance Small ו[[יפים זלמנוב]] שאלו האם ההפך נכון (אולי תחת הנחות מסוימות על שדה הבסיס); שאלה זו נענתה בשלילה על ידי [[אגטה סמוקטונוביץ']], שבנתה אלגברות נוצרות סופית, מדורגות-ניליות שאינן ג'ייקובסון מעל כל שדה.

 

 

== מודול מדורג ==