ויקיפדיה

משוואה ממעלה שלישית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: \1כדי, ,, מדויק, \1
שורה 34:
 
=== פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית ===
בסעיף זה נמצא את הפתרונות המדוייקיםהמדויקים של משוואה כללית ממעלה שלישית:
 
(1) <math>ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0</math>
 
בכדיכדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר בראש ובראשונה מהביטוי הריבועי <math>x^{2}</math> , באמצעות ההצבה הבאה:
 
(2) <math>x=y-\frac{b}{3a}</math> .
שורה 50:
(4) <math>ay^{3}+\left (c-\frac{b^{2}}{3a} \right )y+\left (d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a} \right )=0</math> .
 
משוואה מספר (4) נקראת "'''משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית'''"{{הערה|באנגלית: Depressed cubic equation.}} כיוון שהמקדם של <math>y^{2}</math> , שווה 0 (אפס). הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה.
 
כעת, נחלק את המשוואה ב- a, בהניחנו כי <math>a\neq 0</math> .
שורה 60:
כעת נגדיר:
 
<math>f=\frac{1}{a}\left (d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a} \right )</math> , <math>e=\frac{1}{a}\left (c-\frac{b^{2}}{3a} \right )</math> ונקבל את משוואה (5) :
 
(5) <math>y^{3}+ey+f=0</math> .
שורה 74:
(7) <math>\left(z+\frac{s}{z}\right)^{3}+e\left(z+\frac{s}{z}\right)+f=0</math> .
 
לאחר פתיחת סוגריים והכפלת שני צדי המשוואה ב- <math>z^{3}</math> , נקבל את המשוואה הבאה:
 
(8) <math>z^{6}+(3s+e)z^{4}+fz^{3}+s(3s+e)z^{2}+s^{3}=0</math> .
שורה 84:
(9) <math>z^{6}+fz^{3}-\frac{e^{3}}{27}=0</math> .
 
כעת נגדיר קשר נוסף: <math>w=z^{3}</math> , אשר לאחר הצבתו במשוואה (9), תיוותר לנו המשוואה הריבועית הכללית הבאה:
 
(10) <math>w^{2}+fw-\frac{e^{3}}{27}=0</math> .
שורה 159:
(2) <math>y^{3}+ey+f=0</math> . כעת עלינו למצוא את המקדמים <math>e</math> ו- <math>f</math>:
 
<math>e=\frac{1}{a}\left (c-\frac{b^{2}}{3a} \right )</math> , על כן:
 
<math>e=\frac{1}{a}\left (c-\frac{b^{2}}{3a} \right )=\frac{1}{1}\left(36-\frac{\left(-9\right)^{2}}{3\cdot\left(1\right)}\right)=9</math> ,
 
ו- <math>f=\frac{1}{a}\left (d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a} \right )</math> , על כן:
 
<math>f=\frac{1}{a}\left (d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a} \right )=\frac{1}{1}\left(-80+\frac{2\cdot\left(-9\right)^{3}}{27\cdot\left(1\right)^{2}}-\frac{\left(-9\right)\cdot\left(36\right)}{3\cdot\left(1\right)}\right)=-26</math> .
שורה 169:
כעת, המשוואה נראית כך:
 
<math>y^{3}+9y-26=0</math> , כאשר:
 
<math>e=9\quad,\quad f=-26</math> .
 
מכיוון שהגדרנו: <math>s=-\frac{e}{3}</math> (משוואה (12)) , נקבל:
 
<math>s=-\frac{e}{3}=-\frac{9}{3}=-3</math> .
שורה 189:
<math>w_{1}=27\quad,\quad w_{2}=-1</math> .{{ש}}{{ש}}
 
לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי <math>x</math>), נבחר, '''באופן שרירותי לחלוטין''', את השורש <math>w_{1}=27</math> . '''בחירת השורש השני, <math>w_{2}=-1</math> , תניב שורשים זהים של <math>x</math> - לאלו של השורש הראשון שבחרנו- <math>w_{1}=27</math> , כאמור לעיל. ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני, <math>w_{2}=-1</math> (התהליך יודגם רק על שורש אחד, <math>w_{1}=27</math> , כאמור).'''
 
קודם לכן הגדרנו את הקשר: <math>w=z^{3}</math> .
 
מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו, '''באופן שרירותי''', עבור <math>w_{1}=27</math> , נקבל: <math>z^{3}=w_{1}=27=27e^{i0}</math> . מהות השוויון האחרון תוסבר כעת:{{ש}}{{ש}}
 
'''כעת, נפתור את המשוואה הזו בצורתה הפולרית'''.
שורה 226:
(7) <math>\sin \theta=\sin3\alpha</math> .{{ש}}{{ש}}
 
כיוון ש: <math>\sin \theta\ , \cos \theta </math> הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של <math>2\pi\text{ rad}=360^{\circ}</math> {{הערה|למידע נוסף בנושא: הקשר בין רדיאנים ומעלות, אנא לחץ [[רדיאן|כאן]].}}, נוכל לכתוב את הקשר הבא:{{ש}}{{ש}}
 
(9) <math>3\alpha=\theta+2\pi k \Rightarrow \alpha=\frac{\theta+2\pi k}{3}</math> , כאשר: <math>k=0,1,2</math> .{{ש}}
(<math>k=3</math> משלים מעגל שלם של <math>2\pi\text{ rad}</math> , ותוצאותיו של <math>\alpha</math> תחזורנה על עצמן).
 
נקבל:
שורה 243:
 
נמצא את המודול של <math>z</math> :
(נכון לגבי כל שלושת שורשי <math>z</math> , כלומר: <math>z_{3}</math>,<math>z_{2}</math>,<math>z_{1}</math> ) :{{ש}}{{ש}}
 
ממשוואה (3) נקבל את הקשר:{{ש}} <math>re^{i\theta}=27e^{i0}\Rightarrow r=27\text{ , }\theta=0</math> .{{ש}}{{ש}}
שורה 249:
ממשוואה (5) נקבל את הקשר:{{ש}} <math>r=u^{3}=27\Rightarrow u=3</math> .{{ש}}{{ש}}
 
לקבלת הפתרון הכללי של <math>z</math> , נחלץ את <math>z</math> ממשוואה (4) :{{ש}}
 
(4) <math>z^{3}=u^{3}\left(\cos3\alpha+i\sin3\alpha\right)\Rightarrow z=u\left(\cos3\alpha+i\sin3\alpha\right)^{\frac{1}{3}}=u\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)</math> . השוויון האחרון נכון, בזכות [[משפט דה מואבר]].{{ש}}{{ש}}
שורה 275:
קיבלנו קודם לכן את הקשר: <math>y=z+\frac{s}{z}</math> .
 
כיוון שמצאנו קודם לכן כי: <math>s=-3</math> , נקבל:
 
(12) <math>y=z+\frac{s}{z}=z-\frac{3}{z}</math> .
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משוואה_ממעלה_שלישית"