אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות

מ
יודים וווים
מ (אקסיומות המניה הועבר לאקסיומות המנייה: כך יש לכתוב)
מ (יודים וווים)
'''אקסיומות המניההמנייה''' הן הנחות המתייחסות לגודל של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] מיוחדות ב[[מרחב טופולוגי]], ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן [[קבוצה בת מניהמנייה|בנות מניהמנייה]]. מרחבים אשר מקיימים תכונות אלה הם מרחבים אשר מספר הקבוצות הפתוחות בהם הוא 'קטן' במובן מסוים, , ולכן מרחבים אלה קלים יותר לטיפול.
 
'''אקסיומת המניההמנייה הראשונה''' קובעת שלכל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס סביבות בן מניהמנייה. אקסיומה זו מתקיימת בכל [[מרחב מטרי]].
 
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, '''אקסיומת המניההמנייה השניההשנייה''' קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מניהמנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]. מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה והינו [[מרחב T3]] הוא מרחב [[מטריזביליות|מטריזבילי]] (כלומר, מרחב זה [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] [[מרחב מטרי|למרחב מטרי]]) לפי [[משפט המטריזציה של אוריסון|משפט אוריסון]].
 
==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה==
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס מקומי לטופולוגיה|בסיס מקומי]] בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
 
==אקסיומות המניההמנייה==
===האקסיומה הראשונה===
נאמר כי ל[[מרחב טופולוגי]] X קיים '''בסיס בן מנייה''' בנקודה y אם קיים אוסף [[בן מנייה]] <math>\mathbb{B}</math> של סביבות של y כך שכל סביבה של y מכילה לפחות סביבה אחת מ<math>\mathbb{B}</math>.<br />
 
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
* מרחב טופולוגי הוא מרחב '''ספרבילי''', אם יש בו [[קבוצה צפופה]] בת מניהמנייה.
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מניהמנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון.
 
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: [[תכונת לינדלוף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מניהמנייה, ולעומתה '''קומפקטיות מנייתית''' היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מניהמנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים '''קומפקטיות סדרתית'''.
 
מרחב <math>\ C_{I}</math> הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.
 
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> הוא [[משפט אוריסון]], שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את [[מרחב T3|תכונת ההפרדה T3]], הוא מטריזבילי.
=== מרחב לינדלףלינדלוף ===
[[מרחב טופולוגי]] בו לכל [[כיסוי]] פתוח יש תת כיסוי [[בן מנייה]] נקרא '''מרחב לינדלףלינדלוף'''.
 
==לקריאה נוספת==