התפלגות בינומית – הבדלי גרסאות

|תמונת צפיפות=Binomial distribution.svg

|גודל תמונה=300

|תמונת מצטברת=Binomial distribution cdf.png

|פרמטרים=p -– ההסתברות ל"הצלחה",{{ש}}n -– מספר ההטלות

|תומך=<math>\ k\in \{0,1,2...,n\}</math>

|תוחלת=<math>\ np</math>

|סטיית תקן=<math> \ \sqrt{np(1-p)}</math>

|שונות=<math>\ np(1-p)</math>

|אנטרופיה=<math> \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e\ n p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math>

|צידוד=<math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!</math>

'''התפלגות בינומית''' היא [[התפלגות בדידה]] המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n [[ניסויי ברנולי]] בלתי תלויים ושווי הסתברות. את הטענה ש[[משתנה מקרי]] X הוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-<math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math>, כאשר p היא ההסתברות להצלחה בניסוי בודד.

ההתפלגות של משתנה בינומי <math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math> היא <math>P\left(X=k\right) = {n \choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}</math> עבור <math>k=0,1,\ldots,n</math>. הסימון <math>\ \binom{n}{k}</math> מתייחס ל[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]], שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כשלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה <math>p^k (1-p)^{n-k}</math>. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]] <math>\ \binom{n}{k}</math>, כפול <math>p^k (1-p)^{n-k}</math>.

כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי [[נוסחת הבינום]]: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k} = (p+(1-p))^n = 1^n = 1</math>.

{{ערךהפניה לערך מורחב|התפלגות בינומית שלילית}}

<math>P_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\cdot\Gamma(r)}P^r(1-P)^k</math>

===קירוב נורמליעל ידי התפלגות פואסון===