|
==הערות שולים==
{{הערות שוליים}}
==הפתרון הכללי של כל משוואה מסדר שלישי בעלת כמה פתרונות ממשיים שונים, מבלי להשתמש בשורשים מעוקבים ובמספרים לא ממשיים.==
לפתרון דלהלן היגעתי בהיותי בן 14, אחרי שקראתי באנציקלופדיה העברית את הערך "קרדנו ג'רולמו", ואחרי שהתוודעתי לנוסחת הקוסינוס של סכום זויות.
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}+\left(\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^2}{3a^2}x\right)+\left(\frac{b^3}{27a^3}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{b^3}{9a^3}\right)+\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{bc}{3a^2}\right)=0</math>
:<math>\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{b^2}{3a^2}x+\frac{b^3}{27a^3}\right)+\left(\frac{c}{a}x+\frac{bc}{3a^2}-\frac{b^2}{3a^2}x-\frac{b^3}{9a^3}\right)-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(\frac{bc}{3a^2}-\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{d}{a}\right)=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)=0</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}</math>
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left[\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right]</math>
:<math>\frac{27a^3}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3-\frac{9a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>4\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]^3-3\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>4\cos^3\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)-3\cos\left(\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>\cos\left(3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]\right)=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}</math>
:<math>3\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+2k\pi</math>
:<math>\arccos\left[\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)\right]=\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi</math>
:<math>\frac{3a}{2\sqrt{b^2-3ac}}\left(x+\frac{b}{3a}\right)=\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)</math>
:<math>x+\frac{b}{3a}=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)}{3a}</math>
:<math>x=\frac{2\sqrt{b^2-3ac}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\left(b^2-3ac\right)\sqrt{b^2-3ac}}+\frac{2}{3}k\pi\right)-b}{3a}</math>
==הפתרון הכללי של כל משוואה מסדר שלישי בעלת כמה פתרונות ממשיים שונים, מבלי להשתמש בשורשים מעוקבים ובמספרים לא ממשיים.==
| 