מידה מסומנת – הבדלי גרסאות

על מנת למנוע בלבלולבלבול מיותר בהמשך המאמר, אנחנומעתה נקראואילך להעתקת(במאמר זה) העתקת המידה "הרגילה" תקרא מידה חיובית.

תהא <math>\mu</math> מידה חיובית ותהא <math>\nu</math> מידה מסומנת הפועלות על אותו מרחב מדיד <math>(X,\Sigma)</math>. נאמר ש-<math>\nu</math> היא רציפה בהחלט ביחס ל-<math>\mu</math>, ונסמן זאת על ידי <math>\nu << \mu</math>, אם לכל <math>A \in \Sigma</math> קבוצה מדידה מתקיים: <math>\mu(A) = 0 \Longrightarrow \nu(A) = 0</math>.

יהיו <math>\nu,\mu</math> מידות מסומנות על המרחב המדיד <math>(X,\Sigma)</math>. נאמר ש-<math>\nu</math> ו-<math>\mu</math> הן '''סינגולריות אחת ביחס לשניה''' ונסמן זאת על ידי <math>\nu \perp \mu</math> אם קיימות שתי תת קבוצות <math>A,B\subseteq X</math> מדידות המהוות פירוק זר ל-<math>X</math> כךוגם ש-<math>A</math> היא <math>\mu</math>-אפסית ו-<math>B</math> היא <math>\nu</math>-אפסית.

נזכר כי מידה מסומנת נועדה על מנת להכליל את המושג של מידה "רגילה" (או מידה חיובית) שאנחנו מכירים., לכן בפרט זה הגיוני שמידה מסומנת תקיים חלק מהתכונות הרגילות שמקיימת מידה חיובית. חלק מהתכונות הללו הן תכונות הרציפות.

יהא <math>(X,\Sigma, \mu)</math> מרחב מידה כאשר <math>\mu</math> היא מדיה חיובית, ותהא <math>f:X \to \mathbb{R}</math> [[אינטגרבילית באופן מוחלט]]. אזי, העתקה שמוגדרת על קבוצה <math>A\in\Sigma</math> באופן הבא <math>\nu: A \to \int_A f\cdot d\mu</math> היא מידה מסומנת. יתירה מכך, אם <math>f \in L^1(\mu)</math> אזי <math>\nu</math> היא [[מידה סופית]] וגם <math>\nu << \mu</math>.