הבדלים בין גרסאות בדף "משפטי האי-שלמות של גדל"

מ
בוט החלפות: לעיתים
מ (בוט החלפות: לעיתים)
גדל הראה שכל מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות ה[[אריתמטיקה]]) שהיא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], היא בהכרח לא [[שלמות|שלמה]], משמע שקיימות [[עצמאות_(לוגיקה_מתמטית)|טענות שלא ניתנות להכרעה]], כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים [[תוכנית הילברט|לבנות מערכת אקסיומטית כוללת]] שממנה תנבע כל המתמטיקה.
 
המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתיםלעיתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי האי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.
 
==מבוא לא פורמלי==
טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף [[מחשב]] תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו [[מדעי המחשב]] ו[[מכונת טיורינג]]), כיוון שעל פי [[תזת צ'רץ'-טיורינג]] כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם ([[מכונת טיורינג]]) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי [[רוג'ר פנרוז]] התבסס על משפטי האי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי ה[[אינטליגנציה]] האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות ב[[מוח]]. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות ה[[ריגורוזיות]] המתמטית.
 
ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמות משמש את חסידי [[העידן החדש]] על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתיםלעיתים קרובות יחד עם [[מכניקת הקוונטים]] בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. אך גדל עצמו לא היה מסכים לכך. כי ה[[פוסטמודרניזם]] עמד בניגוד מוחלט לגדל, שהיה [[פלטוניזם|פלטוניסט]].
 
בספרו [[שלוש מהפכות קופרניקניות]] הציג ה[[פרופסור]] [[זאב בכלר]] את משפטי האי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.