|
ב[[אלגברה לינאריתליניארית]], יאמר על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] <math>\ S</math>, המוכלת ב[[מרחב וקטורי]] <math>\ V</math>, שהיא '''קבוצה פורשת''' (או '''קבוצת יוצרים''') של <math>\ V</math>, אם ורק אם כל וקטור במרחב ניתן להצגה כ[[צירוף לינאריליניארי]] של וקטורים השייכים ל-<math>\ S</math>.
קבוצת כל הצירופים הלינארייםהליניאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה <math>\ A</math> מסומנת ב<math>\ Sp(A)</math>. (קיצור של המילה Span, פרישה [[אנגלית|באנגלית]]). ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה <math>\ A</math>". בהתאם לכך, <math>\ S</math> פורשת את <math>\ V</math> אם ורק אם <math>\ V=Sp(S)</math>.
מעניין להתבונן גם בקבוצה "מינימלית" של וקטורים הפורשת מרחב מסוים. הכוונה ב"מינימלית" היא לכך שאם משמיטים מן הקבוצה וקטור, הקבוצה כבר אינה פורשת. ניתן להראות שאם הקבוצה אינה מינימלית, קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף לינאריליניארי של האחרים, כלומר הקבוצה [[תלות לינאריתליניארית| תלויה לינאריתליניארית]], ואם הקבוצה היא מינימלית, אזי היא בלתי תלויה. לפיכך, קבוצה פורשת מינימלית היא [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] למרחב הווקטורי.
== דוגמאות ==
* הקבוצה <math>\{1\}</math> פורשת את קבוצת ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]], מפני שכל מספר ממשי הוא צירוף לינאריליניארי של שלה (כי לכל מספר ממשי <math>x</math> קיים <math>\lambda \in \R</math> כך ש- <math>x = \lambda \cdot 1</math>). בדומה, כל קבוצה של מספרים ממשיים (למשל <math>\{8\}</math>, <math>\N</math> או <math>\{5,3.6\}</math>) פורשת את קבוצת כל המספרים הממשיים ׁ(אבל לאו דווקא פורשת מינימלית), למעט [[הקבוצה הריקה]] [[יחידון|ויחידון]] האפס (<math>\{0\}</math>).
* הקבוצה <math>\{(3,0)\}</math> פורשת את המרחב <math>A = \{(x,0): x\in \R\}</math>, כי לכל <math>v\in A</math>, קיים <math>\lambda \in \R</math> כך ש- <math>v = \lambda \cdot (3,0)</math>.
בהתאם לדוגמאות שלעיל נוכל לסמן:
* <math>\R = Sp( \{ 1\}) = Sp(\{ 8\}) = Sp(\{ 5,3\}) =Sp(\N)</math>
* <math>A=Sp(\{(3,0)\})</math> .{{אלגברה לינאריתליניארית}}
[[קטגוריה:אלגברה]]
| 