דטרמיננטה – הבדלי גרסאות

ב[[אלגברה לינאריתליניארית]], ה'''דֵּטֶרְמִינַנְטָה''' של [[מטריצה ריבועית]], היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס [[אם ורק אם]] המטריצה אינה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].{{הערה|בדיקת ערך הדטרמיננטה של המטריצה של העתקה לינאריתליניארית, היא שיטה [[אלגוריתם|אלגוריתמית]] לוודא האם העתקה הפיכה.}} יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי [[מערכת משוואות לינאריותליניאריות]] שונה מאפס, [[נוסחת קרמר]] מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים ב-<math>|A|</math> או <math>\det(A)</math>.

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס [[בבל]]יים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות לינאריותליניאריות.

ב-[[1896]] מיין [[פרדיננד פרובניוס]] את ההעתקות הלינאריותהליניאריות <math>T \,{:}\, \operatorname{M}_n(F) \rightarrow \operatorname{M}_n(F)</math> השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש-<math>\det(T(X))=\det(X)</math> לכל מטריצה X), והראה שכולן מהצורה <math>T(X) = AXB</math> או <math>T(X) = AX^{\operatorname{tr}}B</math>.

הגדרה "[[אקסיומה|אקסיומטית]]", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-לינאריתליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי [[קארל ויירשטראס]], והתפרסמה ב-[[1903]], לאחר מותו.

לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה <math>\ A \mapsto \det(A)</math> כפונקציה של <math>n</math> העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא לינאריתליניארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש-<math>\ \det(I)=1</math> כאשר <math>I</math> היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של [[העתקה לינאריתליניארית|טרנספורמציה לינאריתליניארית]] מממד n על [[מכפלת יתד|מכפלת היתד]] <math>V^{\wedge n}</math> של המרחב V (שהיא מרחב חד-ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.

את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה [[רקורסיה|רקורסיבית]], הנקראת '''פיתוח לפי מינורים'''. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל <math>1\times 1</math> הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר <math>n\times n</math> כאשר <math>n\geq 2</math>. ה[[מינור (אלגברה לינאריתליניארית)|מינור]] של איבר במטריצה A הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל <math>(n-1)\times (n-1)</math> (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב <math>A_{ij}</math> (שהוא הרכיב ה-(i,j) של המטריצה) ב-<math>A^{ij}</math>. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה <math>\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math> -- זהו '''פיתוח לפי השורה ה-i'''. פיתוח לפי העמודה ה-j מתקבל מנוסחה דומה: <math>\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math>.

{{אלגברה לינאריתליניארית}}