עקרון הויגנס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 4:
== היסטוריה ==
ב-1678, הויגנס הציע כי כל נקודה אליה מגיעה הפרעה אורית הופכת למקור של גלים כדוריים; הסיכום של כל הגלים המשניים האלו קובע את צורת הגל בכל רגע נתון. הוא הניח שהגלים המשניים נעים פחות או יותר רק בכיוון "חזיתי", אולם לא הסביר לפי התאוריה שלו מדוע זה כך. הוא היה מסוגל לתת הסבר איכותי להתקדמות גלים קווית וכדורית, ולגזור את חוקי [[החזרה (אופטיקה)|ההחזרה]] וה[[שבירה]] באמצעות העיקרון הזה, אבל לא יכל להסביר את הסטיות מתנועה ישרה המתרחשות כאשר אור פוגש בפינות, מפתחים ומסכים, אפקטים שזכו לשם "תופעות [[עקיפה]]". את הסיבה לשגיאה הזאת שלו הסביר David A.B. Miller ב-1991; הפתרון הוא שמקור הגלים הוא דיפול (ולא המונופול שהויגנס הניח), אשר מתקזז בכיוון המוחזר{{הבהרה}}.
שורה 12 ⟵ 11:
[[נוסחת העקיפה של קירכהוף]] סיפקה מסגרת מתמטית ריגורוזי לעקיפה, המתבססת על משוואת הגלים. ההנחות השרירותיות אותן עשה פרנל כדי להגיע לניסוח המתמטי של עקרון הויגנס צצות באופן טבעי מהמתמטיקה של תורת העקיפה של קירכהוף.
=== הניסוח המתמטי של העקרון ===
[[File:Huygens-Fresnel BW.svg|שמאל|250px|ממוזער|המחשה גאומטרית לחישוב של פרנל.]]
נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה '''P'''<sub>0</sub>, המייצר גלים ב[[תדירות]] ''f''. את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב ''U''<sub>0</sub>, הנקרא גם [[פאזור (אלקטרוניקה)|משרעת מרוכבת]]. הוא מפיק גלים כדוריים עם [[אורך גל]] λ ו[[מספר גל]] ''k'' = ''2π/λ''. המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה '''Q''' הממוקמת במרחק ''r''<sub>0</sub> מהנקודה '''P'''<sub>0</sub> ניתנת בביטוי:
<math>U(r_0) = \frac {U_0 e^{ikr_0}}{r_0} </math>
מכיוון שה[[משרעת]] קטנה ביחס הפוך למרחק ממקור הגל, והפאזה משתנה לפי מכפלת מספר הגל ''k'' במרחק מהמקור.
באמצעות התאוריה של הויגנס ו[[סופרפוזיציה|עקרון הסופרפוזיציה]] של גלים, המשרעת המרוכבת בנקודה מרוחקת יותר '''P''' נמדדת על פי סיכום התרומות מכל נקודה על פני הכדור ברדיוס ''r''<sub>0</sub>. כדיי להשיג התאמה עם תצפיות ניסוייות, פרנל מצא שהתרומות מהגלים המשניים שנוצרים מנקודות על פני הכדור חייבים להיות מוכפלים בקבוע <math>-i/\lambda </math> (כאשר <math>i = \sqrt {{-1}}</math>), ובפקטור הטיה נוסף (''K''(χ. ההנחה הראשונה פירושה שהגלים המשניים נמצאים ברבע מחזור גל "מחוץ לפאזה" ביחס לגל הראשי, ושהמשרעת של הגלים המשניים היא ביחס של <math>1:\lambda </math> עם משרעת הגל הראשי. הוא הניח גם של-(''K''(χ יש ערך מירבי כאשר χ = 0, וערך מאופס כאשר χ = π/2. המשרעת המרוכבת ב-'''P''' ניתנת על כן בנוסחה:
<math> U(P) = -\frac{i}{\lambda} U(r_0) \int_{S} \frac {e^{iks}}{s} K(\chi)\,dS </math>
כאשר ''S'' מתאר את פני השטח של הכדור, ו-''s'' הוא המרחק בין '''Q''' ל-'''P'''.
ההנחות השונות שעשה פרנל צצות אוטומטית ב[[נוסחת העקיפה של קירכהוף]], אשר ניתן לראות את עקרון הויגנס-פרנל כקירוב לה. עם זאת, התוצאה של קירכהוף נבדלת מזו של פרנל בפקטור ההטיה (''K''(χ:
<math>~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)</math>
ל-''K'' יש מקסימום ב-χ = 0 כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, ''K'' לא שווה לאפס כאשר χ = π/2. נוסחת קירכהוף מסבירה מדוע בכלל גלים מתקדמים בכיוון מוגדר מסוים - כאשר χ = π מקבלים
0 = (''K''(χ, כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור.
==עקיפה==
| |||