מרחב דואלי – הבדלי גרסאות

'''המרחב הדואלי''' של [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או הכללה של מרחב כזה, הוא המרחב של כל הפונקציות מן המרחב לשדה הבסיס. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינאריתליניארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].

יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>. '''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' הוא המרחב הווקטורי <math>\ V^* </math> שאיבריו הם הפונקציות הלינאריותהליניאריות <math>\ V \to F</math>, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינאריליניארי]].

יהי <math>\ X</math> [[מרחב בנך]] מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> או מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}</math>, שנסמן ב-F. כמו בכל מרחב וקטורי, [[פונקציונל]] <math>\ \Phi : X \to F</math> הוא פונקציה לינאריתליניארית מן המרחב אל שדה הבסיס.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינארייםהליניאריים והחסומים על <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך]], הקרוי "'''המרחב הדואלי'''" של <math>\ X</math>. אם X איזומורפי למרחב הדואלי שלו, הוא נקרא '''מרחב רפלקסיבי'''. כל [[מרחב הילברט]] הוא רפלקסיבי, לפי [[משפט ההצגה של ריס]].

נסמן ב-<math>\ v_i^*</math> את הפונקציונאל הלינאריהליניארי המקבל 1 על <math>\ v_i</math> ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינאריליניארי יחיד כנ"ל).