|
ב[[תורת החוגים]], '''אידאלאידיאל נילי''' הוא [[אידאל (אלגברה)|אידאלאידיאל]] שכל איבריו [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטיים]]. מכיוון שסכום של אידאליםאידיאלים ניליים גם הוא נילי, סכום כל האידאליםהאידיאלים הניליים בחוג הוא אידאלאידיאל נילי, המכונה [[הרדיקל הנילי העליון]].
== הגדרות ==
איבר a של חוג הוא '''נילפוטנטי''' אם קיים n כך ש- <math>\ a^n=0</math>.
תת-קבוצה S של חוג, שכל איבריה נילפוטנטיים, נקראת '''קבוצה נילית'''. אם קיים n כך שהמכפלה <math>\ s_1 \dots s_n</math> מתאפסת לכל <math>\ s_1,\dots,s_n \in S</math> אז S היא '''קבוצה נילפוטנטית'''. קל לראות שהאידאלשהאידיאל השמאלי <math>\ Ra</math> הוא נילי אם ורק אם האידאלהאידיאל הימני <math>\ aR</math> הוא כזה.
אידאלאידיאל הוא '''נילפוטנטי מקומית''', אם תת-החוג הנוצר על ידי מספר יוצרים סופי מאברי האידאלהאידיאל הוא תמיד נילפוטנטי (אם כי דרגת הנילפוטנטיות עשויה להיות תלויה בבחירת היוצרים). כל אידאלאידיאל נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית, וכל אידאלאידיאל נילפוטנטי מקומית הוא נילי; הטענות ההפוכות אינן נכונות בדרך כלל. עם זאת, ב[[חוג נותרי|חוגים נותריים]], כל אידאלאידיאל שמאלי נילי הוא [[אידאלאידיאל נילפוטנטי]]{{הערה|1=Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23;
[http://www.ams.org/journals/proc/1962-013-02/S0002-9939-1962-0153698-6/S0002-9939-1962-0153698-6.pdf A theorem of Levitzki], I.E. Herstein, Proc AMS, 1961}}. [[חוג ראשוני]] שאין בו אידאליםאידיאלים ניליים נקרא '''strongly prime'''.
=== חוגים ניליים ===
ההגדרות עבור אידאליםאידיאלים חלות גם על חוגים בלי יחידה: '''חוג נילי''' הוא חוג שבו כל האיברים ניליים (ולכן אין בו [[אידמפוטנט|אידמפוטנטים]]). חוג שכל המנות הראשוניות שלו הן ניליות הוא בעצמו נילי.
== סכום של אידאליםאידיאלים ניליים ==
איברים נילפוטנטיים נראים ממבט ראשון "קרובים לאפס", אבל זווית ראיה זו אינה מועילה, משום שהסכום או המכפלה של איברים נילפוטנטיים אינם בהכרח כאלה
{{הערה|לדוגמה, הסכום או המכפלה של יחידות המטריצות <math>\ e_{12}, e_{21}</math> אינם נילפוטנטיים.}}.
לעומת זאת, ההנחה שאיבר שייך לאידאללאידיאל נילי היא חזקה ביותר. כל האיברים מסוג זה מרכיבים יחדיו את האידאלהאידיאל הנילי הגדול ביותר, שהוא [[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל]] הנקרא [[הרדיקל הנילי העליון]] של החוג. אידאלאידיאל זה שווה לחיתוך של כל ה[[אידאלאידיאל ראשוני|אידאליםאידיאלים הראשוניים]]. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי כולל את כל האיברים הנילפוטנטיים, ושווה ל[[רדיקל של אידאל|רדיקל]] של אידאלאידיאל האפס בחוג.
בדומה לזה, [[רדיקל לויצקי]] הוא האידאלהאידיאל השמאלי הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר, והוא אידאלאידיאל דו-צדדי. קיומם של רדיקלים אלה מוכיח שסכום (כלשהו) של אידאליםאידיאלים ניליים הוא תמיד נילי, והסכום של אידאליםאידיאלים נילפוטנטיים-מקומית הוא תמיד נילפוטנטי-מקומית. אפילו הסכום של אידאליםאידיאלים שמאליים נילפוטנטיים-מקומית הוא נילפוטנטי-מקומית, והסכום של תת-חוג נילפוטנטי מקומית עם תת-חוג נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית{{הערה|1=Ferrero and Puczylowski, On rings which are sums of two subrings, Arch. Math. 53, 4--10, (1989).}}. לעומת זאת, לא ידוע האם סכום של אידאליםאידיאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי (ראו להלן).
כאשר מדובר באידאליםבאידיאלים נילפוטנטיים התמונה שונה: הסכום של מספר סופי של אידאליםאידיאלים (שמאליים) נילפוטנטיים, הוא נילפוטנטי, אבל סכום של מספר כלשהו של אידאליםאידיאלים נילפוטנטיים אינו בהכרח כזה. סכום כל האידאליםהאידיאלים הנילפוטנטיים בחוג הוא נילי, אבל בדרך כלל אינו נילפוטנטי.
== בעיות פתוחות ==
[[השערת קתה]], שהיא אחת ההשערות הפתוחות המרכזיות בתורת החוגים, שואלת האם סכום של אידאליםאידיאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי{{הערה|1=בין הגרסאות השקולות: האם סכום של תת-חוג נילפוטנטי ותת-חוג נילי, הוא נילי. ידוע שיש סכומים של שני תת-חוגים נילפוטנטיים מקומית שאינם ניליים.}}. ידוע שקיים חוג נילי אפיני שאינו נילפוטנטי (Golod ו-Shafarevitch), אך לא ידוע האם חוג נילי מוצג סופית הוא בהכרח מממד סופי.
== ראו גם ==
| 