מערכת משוואות ליניאריות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Kotz העביר את הדף מערכת משוואות לינאריות לשם מערכת משוואות ליניאריות: החלטת אקדמיה + עדכון בוט ההחלפות |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1ליניארי |
||
שורה 1:
[[קובץ:Secretsharing-3-point.png|שמאל|ממוזער|250px|המחשה [[גאומטריה|גאומטרית]] של שלוש משוואות, המיוצגות על ידי שלושה [[מישור (גאומטריה)|מישורים]]. פתרון המערכת הוא ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] המשותפת לכולם]]
ב[[מתמטיקה]], '''מערכת משוואות
במסגרת ה[[אלגברה
==מבנה כללי==
שורה 16:
===הצגה באמצעות וקטורים===
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ית, כ[[צירוף
:<math>
x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
שורה 25:
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים
===הצגה באמצעות מטריצות===
מערכת משוואות
:<math>A\bold{x}=\bold{b}</math>
כאשר:
שורה 54:
\end{bmatrix}
</math>
מספר הווקטורים בבסיס הקבוצה הפורשת מבוטא כעת על ידי ה[[דרגה (אלגברה
==פתרון המערכת==
שורה 81:
שתי העובדות הללו מבטאות את העובדה ש[[מרחב הפתרונות]] של מערכת הומוגנית הוא [[מרחב וקטורי]].
אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] למרחב הפתרונות. ה[[ממד (אלגברה
'''משפט''': מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]], אז יש לה אינסוף פתרונות. מעל [[שדה סופי|שדה בגודל q]], מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q. למשל כאשר מדובר ב[[שדה סופי]] <math>\mathbb{F}_3</math> במרחב מממד 2 אז מס' הפתרונות יהיה 9=3<sup>2</sup>, כלומר q בחזקת המימד הוא מס' הפתרונות.
שורה 87:
=== פתרון של מערכת לא הומוגנית ===
במקרה של מערכת לא הומוגנית <math>\ A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, מרחב הפתרונות הוא [[מרחב אפיני]] (או [[ישריה]]), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע. במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף
'''משפט''': מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל.
שורה 93:
'''משפט''': אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא [[מטריצה הפיכה|מטריצה הפיכה משמאל]] כלומר קיימת מטריצה P מסדר <math>\ n \times m</math> כך ש <math>\ P A= I_{n}</math> והפתרון נתון על ידי <math>\ \mathbf{x} = P \mathbf{b}</math>.
קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות
=== דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי) ===
שורה 104:
עבור מערכת עם <math>\ n</math> משתנים, כל משוואה מייצג מרחב <math>\ n-1</math> ממדי, המשוכנים במרחב <math>\ n</math>-ממדי אחד.
מערכת
:<math>\ y = m_1 x + n_1</math>
שורה 145:
===דירוג מטריצות===
{{הפניה לערך מורחב|דירוג מטריצות}}
ניתן לפתור את המשוואה על ידי ה[[#הצגה באמצעות מטריצה|הצגה באמצעות מטריצה]] לעיל. מבצעים על המטריצה פעולות עד לקבלת [[דירוג מטריצות#מטריצה מדורגת קנונית|מטריצה מדורגת קנונית]], שממנה הפתרון נובע באופן מיידי. שיטה זו נקראת '''שיטת גאוס-ז'ורדן''' או "[[אלימינציית גאוס-ג'ורדן|שיטת האלימינציה של גאוס]]". שיטה זו לפתרון מערכת משוואות
===נוסחת קרמר===
{{הפניה לערך מורחב|נוסחת קרמר}}
'''נוסחת קרמר''' היא שיטה לחישוב ישיר של פתרונות למערכת משוואות
נוסחת קרמר קובעת שאם <math> \ A \mathbf{x}=\mathbf{b}</math> היא המשוואה, אזי הרכיב ה-<math>\ k</math> של וקטור הפתרון <math>\mathbf{x}</math> נתון על ידי
שורה 262:
</math>
== דרכי פתרון לפי רמות של מערכת משוואות
ברמה הראשונה של סוג המערכת הנ"ל מופיעים פרמטרים שאינם מוגבלים בערכים מסוימים.
לכן, הפתרון אינו דורש חקירה. לדוגמה המערכת:
שורה 353:
<math>(3a,a-3)</math>
{{אלגברה
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
|