טור טיילור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
גזירות מכל סדר אינו תנאי מספיק לפיתוח טור טילור: f(×)=e^-1\ײ, f(0)=0 הינה פונקציה גזירה מכל סדר שאינה פונקצית האפס אך טור טיילור שלה יהיה טור אפסי... |
ביטול גרסה 22397466. זה אומר שהטור לא מתכנס לפונקציה, אבל יש "טור טיילור". |
||
שורה 2:
[[קובץ:Exp series.gif|250px|שמאל|ממוזער|300px|[[אקספוננט|פונקציית האקספוננט]] (בכחול) ופיתוח טיילור של הפונקציה בנקודה אפס שמתכנס לפונקציה ככל שסדר הפיתוח עולה (באדום).]]
[[קובץ:Taylor cos.gif|שמאל|ממוזער|300px|פיתוח טיילור חלקי לפונקציית הקוסינוס, מסדר ראשון עד סדר שישי]]
'''טור טיילור''' הוא [[טור חזקות]] המקרב [[פונקציה]], באופן מקומי או בכל תחום הגדרתה. המקדמים של אברי הטור מחושבים על ידי כל הנגזרות של הפונקציה (מכל סדר שהוא) בנקודה מסוימת <math>\ x_0</math> שנקראת '''נקודת הפיתוח''' של הטור. תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור עבור פונקציה בנקודת פיתוח מסוימת הוא שהפונקציה תהיה [[פונקציה חלקה|גזירה מכל סדר]] (אינסוף פעמים) באותה הנקודה. אם טור הטיילור של הפונקציה שווה לה בסביבה מסוימת (כלומר, ניתן לתאר את הפונקציה בעזרת טור טיילור שלה) יהיה ניתן להסתפק במספר '''סופי''' של איברים מהטור (כלומר ב[[פולינום]]) כדי לקבל קירוב כרצוננו של הפונקציה (לפחות באותה הסביבה של נקודת הפיתוח). לכן, במקרה כזה אפשר לקרב פונקציה מסובכת על ידי שימוש בפונקציה פשוטה.
היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]]) באמצעות פעולות [[חיבור]] ופעולות [[כפל]] בין [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], פעולות שניתנות לחישוב מדויק, שכן אנו משתמשים בפולינומים שהם הפונקציות הפשוטות ביותר שקיימות למטרה כזו.
| |||