טור טיילור – הבדלי גרסאות

'''טור טיילור''' הוא [[טור חזקות]] המשויך ל[[פונקציה חלקה]] ולנקודה כלשהי <math>x_0</math> [[פנים (טופולוגיה)|פנימית]] לתחום הגדרתה, שמקדמיו מחושבים על ידי ערכי הנגזרות של הפונקציה ב"נקודת הפיתוח" <math>x_0</math> של הטור. לעתים טור טיילור של הפונקציה מתכנס אליה בסביבה כלשהי של נקודת הפיתוח, ועל כן במקרהובמקרה זה הסכומים החלקיים של הטור, כלומר [[פולינום|פולינומים]], מקרבים את הפונקציה בסביבה זו. זוהי למעשה הכללה של [[תורת הקירובים|הקירוב הליניארי]] (קירוב מסדר ראשון) <math>\ f(x)= f(x_0) + f'(c) ( x - x_0 ) \approx f(x_0) + f'(x_0) ( x - x_0 )</math> שמתקבל על ידי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']].

היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב באופן מקורב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]]) באמצעות פולינומים, כלומר באמצעות פעולות [[חיבור]] ופעולות ו[[כפל]] בין [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]],. פעולותלעתים שניתנותניתן לחישובגם מדויק,לחשב שכןבאופן אנומקורב משתמשיםאת בפולינומיםהנגזרת שהםוהאינטגרל הפונקציותשל הפשוטותפונקציות ביותראלה שקיימותבאמצעות למטרהחישוב כזו.הנגזרות והאינטגרלים של הפולינומים בטור.

נקודהתורה זו העסיקה מתמטיקאים כמו [[ברוק טיילור]] ו[[קולין מקלורן]]. שאיפתם הייתה לנסות ולקרב פולינומים לפונקציות כמו ה[[אקספוננט]], ה[[לוגריתם]] וה[[קוסינוס]], ועל ידי כך לחשב את ערך הפונקציות בקלות בכל נקודה מבוקשת, לגזור אותן בקלות, וכדומה. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר. הטור נקרא על שמו של ממציאו [[ברוק טיילור]]. טור טיילור המפותח בנקודה <math>\ x_0 = 0</math> נקרא '''טור מקלורן''' (הדמיון בין שם זה לשמו של [[טור לורן]], שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).

טור הטיילורטיילור (המפותח בנקודה מסוימת <math>\ x_0</math>) מתכנס לפונקציה (כלומר, שווה לה) בסביבה מסוימת של <math>\ x_0</math> [[אם ורק אם]] סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל. במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] בנקודה <math>\ x_0</math>. גישה נוספת לחשוב על טור טיילור היא כעל הכללה של [[תורת הקירובים|הקירוב הליניארי]] (קירוב מסדר ראשון) <math>\ f(x)= f(x_0) + f'(c) ( x - x_0 ) \approx f(x_0) + f'(x_0) ( x - x_0 )</math> שמתקבל על ידי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']].