ויקיפדיה

מטריצה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 29:
נניח כי <math>\,T</math> היא העתקה ליניארית <math> \ T : V \rightarrow W </math>, ונניח גם שנתונים <math> \ B= \{\vec{v_1},...,\vec{v_n}\}</math> בסיס ל <math> \ V</math>, ו-<math> \ C= \{\vec{w_1},...,\vec{w_m}\}</math> בסיס ל <math> \ W</math> (ברור כי ממדי המרחבים הם <math>\,n</math> ו-<math>\,m</math> בהתאמה).
 
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס <math> \ \vec{v_i} </math>. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור <math> \ T\vec{v_iTv_i} \in W</math> על פי הבסיס <math> \ C</math>. נכתוב זאת במפורש:
 
<math>\ T\vec{v_1Tv_1} =c_{1,1} \vec{w_1} + c_{2,1} \vec{w_2} +...+c_{m,1}\vec{w_m} </math>
 
<math>\ T\vec{v_2Tv_2} =c_{1,2} \vec{w_1} + c_{2,2} \vec{w_2} +...+c_{m,2}\vec{w_m} </math>
 
<math>\ T\vec{v_3Tv_3} =c_{1,3} \vec{w_1} + c_{2,3} \vec{w_2} +...+c_{m,3}\vec{w_m} </math>
 
וכך הלאה עד
 
<math>\ T\vec{v_nTv_n} =c_{1,n} \vec{w_1} + c_{2,n} \vec{w_2} +...+c_{m,n}\vec{w_m} </math>
 
בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל <math>\ \vec{v} \in V</math> את <math>\ T\vec{vTv}</math> על ידי שימוש בליניאריות. ניקח וקטור כלשהו <math> \ \vec{v} \in V </math>, שייצוגו לפי הבסיס <math> \ B </math> הוא
 
<math> \ \vec{v} = b_1 \vec{v_1} + b_2 \vec{v_2}+ ... + b_n \vec{v_n} </math>, נשתמש בליניאריות כדי לקבל
 
<math> \ T\vec{vTv} = T(\sum_{i=1}^n b_i \vec{v_i}) = \sum_{i=1}^n b_i T(\vec{v_i}) </math>
 
אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל <math> \ T(\vec{v_i})</math>, ולכן נציב ונקבל
 
<math> \ T\vec{vTv} = \sum_{i=1}^n b_i ( c_{1,i} \vec{w_1} + c_{2,i} \vec{w_2} +...+c_{m,i}\vec{w_m} ) = \sum_{i=1}^n b_i ( \sum_{j=1}^m c_{j,i} \vec{w_j})</math>.
 
נקבץ את המקדמים של כל <math>\ \vec{w_j}</math>, ונקבל
 
<math> \ T\vec{vTv} = (\sum_{i=1}^n b_i c_{1,i})\vec{w_1} + (\sum_{i=1}^n b_i c_{2,i})\vec{w_2} +...+ (\sum_{i=1}^n b_i c_{m,i})\vec{w_m} </math>
 
בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של <math> \ T\vec{v} </math> לפי הבסיס <math>\ C</math> הוא
 
<math>\ [T\vec{vTv}]_C = (\sum_{i=1}^n b_i c_{1,i}, \sum_{i=1}^n b_i c_{2,i}, ..., \sum_{i=1}^n b_i c_{m,i})</math>
 
הסימון <math> \ [T\vec{v}]_C </math> משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור <math> \ \vec{Tv}</math> לפי הבסיס <math> \ C</math>.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מטריצה"