מרחב דואלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←המרחב הדואלי של מרחב בנך: 1. מרחב דואלי הוא מרחב בנך תמיד (גם אם מרחב הבסיס הוא נורמי). 2. אין צורך לחזור על כל ההגדרות מהערך פונקציונל לינארי. |
משפט אורבך משפט יפה |
||
שורה 19:
==הבסיס הדואלי==
נניח כי <math>\ V</math> מרחב נורמי מממד
עבור כל <math>1 \leq i \leq n</math> נסמן ב-<math>\
אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כ[[וקטור קואורדינטות|וקטורי קואורדינטות]], אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא [[מכפלה סקלרית]].
===משפט אורבך===
משפט אורבך קובע כי לכל מרחב נורמי <math>\ V</math> מממד <math>n</math> קיים בסיס <math>\ \left\{v_i\right\}_{i=1}^n</math> המקיים <math>\| v_i \| = 1</math> לכל <math>1 \leq i \leq n</math>, כך שגם הבסיס הדואלי המתאים לו <math>\ \left\{f_i\right\}_{i=1}^n</math> מקיים <math>\| f_i \| = 1</math> לכל <math>1 \leq i \leq n</math> (בנורמה האופרטורית).
ההוכחה למשפט זה מפתיעה ויחסית פשוטה: ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>V = \mathbb{C}^n</math>. העתקת ה[[דטרמיננטה]] <math>\det: V^n = \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}</math> היא רציפה, ולכן <math>\left|\det\right|</math> מקבלת מקסימום על כדור היחידה הקומפקטי של <math>\mathbb{C}^{n \times n}</math>. נניח כי מקסימום זה הוא המטריצה שעמודותיה הן <math>v_1,\dots,v_n \in \mathbb{C}^n</math>, שהן בבירור בלתי תלויות ולכן בסיס של <math>\mathbb{C}^n</math>. נגדיר <math>f_{i}\left(x\right)=\frac{\det\left(v_{1},\dots,v_{i-1},x,v_{i+1},\dots,v_{n}\right)}{\det\left(v_{1},\dots,v_{n}\right)}</math> עבור <math>i=1,\dots,n</math>. לא קשה לוודא כי זהו הבסיס הדואלי של <math>v_1,\dots,v_n \in \mathbb{C}^n</math> וכי הוא מקיים את המבוקש.
== ראו גם ==
| |||