הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב דואלי"

נוספו 1,307 בתים ,  לפני 3 שנים
משפט אורבך משפט יפה
(←‏המרחב הדואלי של מרחב בנך: 1. מרחב דואלי הוא מרחב בנך תמיד (גם אם מרחב הבסיס הוא נורמי). 2. אין צורך לחזור על כל ההגדרות מהערך פונקציונל לינארי.)
(משפט אורבך משפט יפה)
==הבסיס הדואלי==
 
נניח כי <math>\ V</math> מרחב נורמי מממד סופי<math>n</math> ויהי <math>\ \left\{v_i\right\}_{i=1}^n</math> בסיס עבורו.
 
עבור כל <math>1 \leq i \leq n</math> נסמן ב-<math>\ v_i^*f_i</math> את הפונקציונאל הליניארי המקבלהיחיד 1המוגדר על ידי <math>\f_i(v_j) v_i= \delta_{i,j}</math>, ו-0כאשר על[[הדלתא שארשל אבריקרונקר]]. הבסיסאזי (כמובןהקבוצה שיש<math>\ פונקציונאל\left\{f_i\right\}_{i=1}^n</math> ליניארימהווה יחידבסיס כנ"ל).-<math>\ V^* </math> המכונה '''הבסיס הדואלי'''.
 
הקבוצה <math>\ \left\{v_i^*\right\}_{i=1}^n</math> מהווה בסיס ל-<math>\ V^* </math> שיקרא '''הבסיס הדואלי'''. בסיס זה מקיים את כלל ה[[דלתא של קרונקר]] - <math>\ v_i^* (v_j) = \delta_{ij}</math> - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.
 
אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כ[[וקטור קואורדינטות|וקטורי קואורדינטות]], אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא [[מכפלה סקלרית]].
 
===משפט אורבך===
 
משפט אורבך קובע כי לכל מרחב נורמי <math>\ V</math> מממד <math>n</math> קיים בסיס <math>\ \left\{v_i\right\}_{i=1}^n</math> המקיים <math>\| v_i \| = 1</math> לכל <math>1 \leq i \leq n</math>, כך שגם הבסיס הדואלי המתאים לו <math>\ \left\{f_i\right\}_{i=1}^n</math> מקיים <math>\| f_i \| = 1</math> לכל <math>1 \leq i \leq n</math> (בנורמה האופרטורית).
 
ההוכחה למשפט זה מפתיעה ויחסית פשוטה: ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>V = \mathbb{C}^n</math>. העתקת ה[[דטרמיננטה]] <math>\det: V^n = \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}</math> היא רציפה, ולכן <math>\left|\det\right|</math> מקבלת מקסימום על כדור היחידה הקומפקטי של <math>\mathbb{C}^{n \times n}</math>. נניח כי מקסימום זה הוא המטריצה שעמודותיה הן <math>v_1,\dots,v_n \in \mathbb{C}^n</math>, שהן בבירור בלתי תלויות ולכן בסיס של <math>\mathbb{C}^n</math>. נגדיר <math>f_{i}\left(x\right)=\frac{\det\left(v_{1},\dots,v_{i-1},x,v_{i+1},\dots,v_{n}\right)}{\det\left(v_{1},\dots,v_{n}\right)}</math> עבור <math>i=1,\dots,n</math>. לא קשה לוודא כי זהו הבסיס הדואלי של <math>v_1,\dots,v_n \in \mathbb{C}^n</math> וכי הוא מקיים את המבוקש.
 
== ראו גם ==