ויקיפדיה

סינגולריות (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: אידיאל, \1ליניארי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''נקודה סינגולרית''' היא נקודה שבה [[פונקציה]] (בדרך כלל [[פונקציה מרוכבת]]) או משוואה דיפרנציאלית איננה מוגדרת היטב.
 
== נקודות סינגולריות (אנליזהבאנליזה מרוכבת) ==
נקודת סינגולריות של פונקציה מרוכבת היא נקודה שבה הפונקציה אינה [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]], אך כך שהיא הולומורפית ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבתה]]. יש שלושה סוגים שונים של נקודות סינגולריות מבודדות, השונים זה מזה באופיים, וניתנים לאפיון באמצעות פיתוח הפונקציה ל[[טור לורן]] סביב הסינגולריות.
 
=== סינגולריות סליקה ===
נקודת סינגולריות סליקה היא נקודה אשר הפונקציה שואפת בה לגבול סופי. מקור שמה של סינגולריות זו בכך שהשלמת הפונקציה באופן רציף בנקודה זו תיתן [[פונקציה אנליטית]], כלומר, ניתן "לסלק" את הסינגולריות. [[טור לורן]] של פונקציה סביב נקודות סינגולריות סליקה מתאפיין בכך שלא מופיעים בו איברים עם חזקות שליליות - כלומר, טור לורן הופך ל[[טור טיילור]]. כדוגמה לנקודת סינגולריות סליקה, ניתן להתבונן בנקודה <math>\ z=0</math> עבור הפונקציה <math>y\left(z\right)=\frac{\sin z}{z}</math>
. ניתן "לסלק" את הסינגולריות של הפונקציה הזאת על ידי החלפת פונקציה זאת בפונקציה הרציפה:
שורה 19:
</div>
 
=== קוטב ===
[[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים מסדר <math>\displaystyle n</math>]] הם נקודות סינגולריות בהן הפונקציה מתבדרת לאינסוף. [[טור לורן]] סביב נקודה כזו מצטיין בכך שיש לו מספר <math>\displaystyle n</math> סופי (<math>\ n\ge 1</math>) של איברים עם חזקות שליליות. החזקה השלילית הגדולה ביותר בטור לורן של הפונקציה מכונה '''סדר הקוטב'''. אפשר לגרום לפונקציה להתכנס לערך סופי השונה מאפס על ידי הכפלה של הפונקציה ב-<math>\left(x-x_0\right)^n</math>. כדוגמה לקוטב בסדר גודל 3 של פונקציה מרוכבת, ניתן להתבונן בנקודה <math>\displaystyle x=7</math> עבור הפונקציה <math>\displaystyle\frac{\sin x}{\left(x-7\right)^3}</math>.
כאשר מכפילים את הפונקציה ב-<math>\left(x-7\right)^3</math> הפונקציה מתכנסת לערך סופי <math>\left(\sin7\right)</math>.
 
=== סינגולריות עיקרית ===
[[קובץ:Sin_one_over_x.jpg|שמאל|ממוזער|250px|הפונקציהלפונקציה <math>y=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> יש לה אין סוף תנודות קרוב לנקודה <math>\displaystyle x=0</math>]]
נקודות סינגולריות עיקריות הן אלה אשר לפונקציה אין גבול (סופי או אינסופי) בסביבתן. [[משפט קסורטי-ויירשטראס]] מאפיין נקודות אלה כנקודות אשר הפונקציה מקבלת ערכים הקרובים כרצוננו לכל נקודה מרוכבת בסביבתן. בניסוח אחר: תמונתה של כל סביבה של נקודת סינגולריות עיקרית היא [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[המישור המרוכב|במישורמישור המרוכב]]. [[טור לורן|טורי לורן]] של פונקציה סביב נקודת סינגולריות עיקרית מכילים מספר אינסופי של איברים עם חזקות שליליות. כדוגמה לפונקציה בעלת נקודת סינגולריות עיקרית ניתן לראות את הפונקציה <math>\ \sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> אשר יש לה אין סוף [[תנודה|תנודות]] קרוב לנקודה <math>\displaystyle x=0</math>.
 
== נקודות סינגולריות במשוואות דיפרנציאליות ==
 
עבור [[משוואה דיפרנציאלית]] ליניארית מסדר כלשהו, אפשר להגדיר נקודות סינגולריות באמצעות הצגתה כ[[משוואת_קושי-אוילר|משוואת אוילר]]. נקודות סינגולריות קורות כאשר המקדם של הנגזרת הגבוהה ביותר מתאפס. סביב נקודות סינגולריות אפשר לנחש פתרון בצורה של טור אינסופי, שיטה זו נקראת [[שיטת פרוביניוס]].
 
== נקודות סינגולריות ביריעות אלגבריות ==
אם ''V'' [[יריעה אלגברית]] ו-<math>\,P \in V</math> נקודה על היריעה, אז ''P'' נקראת סינגולרית אם החוג המקומי המתקבל על ידי [[לוקליזציה (תורת החוגים)|לוקליזציה]] של חוג הקואורדינטות של ''V'' באידיאל הראשוני של אוסף הפונקציות המתאפסות ב''P'' אינו [[חוג מקומי רגולרי]].
 
== נקודות סינגולריות בסכמות ==
באופן יותר כללי, אם <math>\,(X,\mathcal{O}_X)</math> היא [[סכמה (מתמטיקה)|סכמה]] ואם <math>\,P \in X</math>, אז ''P'' נקראת סינגולרית אם החוג <math>\mathcal{O}_P</math> אינו חוג מקומי רגולרי.
 
==סינגולריות בהעתקות ליניאריות ==
יהי T אופרטור ליניארי או מטריצה ריבועית. אם T הפיך אז T נקרא גם רגולרי או '''לא-סינגולרי'''.
אם T לא הפיך אז T נקרא גם לא-רגולרי או '''סינגולרי'''.
 
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקימילון=נקדה סינגולרית}}
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סינגולריות_(מתמטיקה)"