משפט הגרדיאנט – הבדלי גרסאות

נוספו 84 בתים ,  לפני 4 שנים
תיקנתי דקדוק
(תיקנתי דקדוק)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד
ב[[מתמטיקה]], בעיקר ב[[אנליזה וקטורית]], '''משפט הגרדיאנט''', ידע גם בתור ''' המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור [[אינטגרל כפול]]''', הוא משפט חשוב מאוד בתחום האנליזה הווקטורית, ובכלל ב[[אנליזה מתמטית]], ומשמש כהכללה ל[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] עבור כל [[מישור (גאומטריה)|מישור]] או [[עקומה]] n-ממדית.
 
המשפט: בהינתן פונקציה <math> \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> ועקומה <math>\gamma</math> מנקודה '''p''' לנקודה '''q''', אז:
 
כאשר <math> \nabla\varphi </math> מסמל את ה[[גרדיאנט]] של הפונקציה <math>\varphi</math>.
המשפט חשוב מאוד כי ניתן להבין ממנו כי ניתן לתאר כל [[שדה וקטורי משמר]] כה[[גרדיאנט]] של [[שדה סקלרי]].
 
==הוכחה==
ידוע כי אם φ היא [[פונקציה גזירה]], מ[[קבוצה פתוחה|תת קבוצה פתוחה]] ''U'' של '''R'''<sup>''n''</sup> ל-'''R''', ואם '''r''' היא פונקציה גזירה מ[[קטע (מתמטיקה)|אינטרוול]] ממשי [''a,b''] ל-''U'', אז על פי [[כלל השרשרת]], הפונקציה φ ∘ '''r''' היא פונקציה גזירה בתחום (''a'', ''b'') ומתקיים