קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 41:
כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת הורביץ'; כל מרחב הורביץ' מקיים את תכונת מנגר (ההפך אינו נכון אפילו בישר הממשי - חבר ופול, 2002); כל מרחב מנגר הוא בפרט לינדלוף. מרחב בייר הוא לינדלוף אבל אינו מנגר. כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת השערת הרצף. ('''קבוצת לוזין''' היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מניה, אבל החיתוך שלה עם כל [[קבוצה דקה]] הוא בן-מניה לכל היותר).
== תכונות שקולות לקומפקטיות ==
# נובע ישירות מההגדרה כי מרחב <math>X</math> קומפקטי אמ"מ לכל חיתוך כלשהוא של סגורות <math>\cap_{i\in I}F_i=\emptyset</math> קיים חיתוך סופי שהוא ריק
# שקילות להתכנסות על מסננים: תחת אקסיומת הבחירה קיימים [[מסנן (תורת הקבוצות)#על-מסננים| על מסננים]] ואז מתקיים כי: מרחב <math> (X,\tau) </math> הוא קומפקטי אמ"מ כל על מסנן <math>F\subseteq P(X) </math> מתכנס.
הוכחה:
בכיוון אחד, נניח כי X קומפקטי ויהא F על מסנן. נסמן ב S את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב F. בגלל קומפקטיות S אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק בסתירה להגדרת מסנן). ולכן קיים איבר x בחיתוך. כעת ברור כי x הוא גבול של F כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל F (שאם לא כך, יש סביבה U פתוחה שלא ב F אבל אז המשלים שלה ב F כי F על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן x שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב U).
בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי. יהיו <math>\{S_i\}_{i\in I}</math> סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק. אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן F שמכיל את <math>\{S_i\}_{i\in I}</math> שלפי הנתון קיים לו גבול x. כעת, x בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת <math>S_i</math> ש x לא שייך אליה אזי המשלים של <math>S_i</math> שנסמנו U הוא סביבה פתוחה של x שינו מכיל באף קבוצה של F (שהרי החיתוך עם <math>S_i</math> ריק + תכונת מסנן). סתירה.
== תכונות של קבוצות קומפקטיות ==
| |||