דטרמיננטה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1ליניארי |
←הדטרמיננטה באנליזה וקטורית: הוספתי קצת אינטואיציה לפירוש הגאומטרי; אם העריכות שלי לא לעניין/צריכות שכתוב - אודה אם ישכתבו אותי. |
||
שורה 73:
הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על-פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. לדוגמה, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של המטריצה ה[[שחלוף (מתמטיקה)|משוחלפת]] שווה לזו של המטריצה המקורית.
== הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה ==
ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור הקינום ה[[נפח]]י של [[טרנספורמציה לינארית|הטרנספורמציה הלינארית]] המיוצגת על ידי המטריצה.
[[File:Area parallellogram as determinant.svg|שמאל|230px|ממוזער|[[שטח]] ה[[מקבילית]] באיור הוא הדטרמיננטה של המטריצה המיוצגת על ידי וקטורי צלעות המקבילית. טרנספורמציות גזירה אינן משנות את [[גובה (גאומטריה)|גובה]] המקבילית ולכן גם לא משנות את שטחה; לעומת זאת, כפל שורה בסקלר מגדיל את אחת מצלעות המקבילית ולכן משנה את שטחה.]]
בצורה פורמלית, אם ''A'' היא מטריצה ממשית מסדר ''n'' × ''n'', אז כפל המטריצה בוקטורי [[הבסיס הסטנדרטי]] של המרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math> יתן את וקטורי העמודה של המטריצה:
:<math>A\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\bold{a}_1, \quad A\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots \\0\end{pmatrix}=\bold{a}_2, \ldots, \quad A\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\bold{a}_n.
</math>
פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי A מעתיקה את [[היפרקובייה|קוביית היחידה ה-n ממדית]] ל[[מקבילון]] ה-''n'' ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי וקטורי העמודה של המטריצה <math>\bold{a}_1, \bold{a}_2, \ldots, \bold{a}_n</math>, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום: <math>P = \{ c_1 \bold{a}_1 +\cdots+c_n\bold{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i \}.</math>. הדטרמיננטה תתן את הנפח [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|המכוון]] של המקבילון הזה, כלומר <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P)</math> (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הלינארית משמרת או הופכת את [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציית]] המקבילון{{הערה|[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] למשל, בשונה מסיבובים, אינם משמרים אוריינטציה של המקבילון.}}).
ניתן אף להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משפיעות על הדטרמיננטה באופן זהה להשפעה שלהן על נפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר <math>\lambda</math> שקולה להארכת אחת מ[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח ה[[פאה (גאומטריה)|פאה]] המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כקינום בפקטור <math>\lambda</math> על נפח המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי [[מינור (אלגברה לינארית)|מינור]]ים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל ב[[מטריצה אלמנטרית]] השקולה ל[[מאמץ גזירה|העתקת גזירה]], ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).
בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ה[[מטריצה הפיכה|הפיכות]] של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר ''n'' × ''n'' בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה-''n'' ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות ''n''-ממדי, מה שמעיד על כך שממד ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של ''A'' נמוך מ-''n''. פירוש הדבר הוא ש-''A'' מייצגת טרנספורמציה לינארית שאינה [[פונקציה על|על]] ואינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]], ולכן אין לה מטריצה הפיכה (שכן אין [[פונקציה הפיכה|טרנספורמציה הופכית]] לטנספורמציה שהיא מייצגת).
==הדטרמיננטה באנליזה וקטורית==
| |||