התפלגות גמא – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים |
מ קישורים פנימיים |
||
שורה 1:
{{נתוני התפלגות|
שם=התפלגות גמא|
פרמטרים=<math>\lambda>0,\
תומך= <math>x \in [0, \infty)\,\!</math>|
צפיפות=<math> \frac{\lambda^{\alpha} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha)} </math>|
שורה 16:
}}
ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''התפלגות גמא''' ('''Gamma Distribution''') הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של
התפלגות גמא משמשת לעיתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. הסיבה לכך היא שההתפלגות <math> \Gamma(1,\lambda)</math> היא ה[[התפלגות מעריכית|התפלגות המעריכית]] חסרת הזיכרון, והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון. לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם
== הגדרה ==
שורה 36:
כשהפרמטר <math>\,\!\alpha </math> הוא [[מספר שלם]], התפלגות גמא נקראת לעיתים [[התפלגות ארלנג]].
ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר <math>\,\!\theta = 1/\lambda > 0</math>, הנקרא '''פרמטר סקאלה'''.
<div style="text-align: center;">
<math>
שורה 47:
</div>
[[משתנה מקרי]] <math>\,\!X </math> המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים <math>\,\!\lambda </math> ו-
===פונקציית התפלגות מצטברת===
שורה 53:
<div style="text-align: center;">
<math>
F(x) = \int_0^x f(s)\,ds
= \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\
שורה 61:
</math>
</div>
כאשר <math> \gamma(\alpha,\lambda x)\!</math> היא [[פונקציית גמא הלא שלמה]] התחתונה:
<math> \gamma(\alpha,\lambda x) = \int_0^{\lambda x} t^{\alpha-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t \,\!</math>
שורה 82:
===פונקציית סיכון===
[[פונקציית סיכון|פונקציית הסיכון]] (Hazard function) של התפלגות גמא, <math>\frac{f(x)}{1-F(x)}</math>, היא
<math>h(x) = \frac{\lambda^\alpha
==קשר להתפלגויות אחרות==
===התפלגות מעריכית===
[[התפלגות מעריכית|ההתפלגות המעריכית]] היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי <math>\Gamma(\lambda,1)\!</math> (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי <math>\,\!\mathrm{exp}(\lambda)</math>.
שורה 92 ⟵ 91:
===התפלגות פואסון===
אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים <math>\,\!\mathrm{exp}(\lambda)</math>, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג [[התפלגות פואסון|פואסונית]] עם פרמטר <math>\lambda t</math>.
כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג <math>\,\!\mathrm{exp}(\lambda)</math>, ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן <math>t</math> מתפלג פואסונית עם פרמטר <math>\lambda t</math>, והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר n מתפלג <math>\Gamma(\lambda, n)\!</math>.
שורה 98 ⟵ 97:
===התפלגות כי בריבוע===
[[התפלגות כי בריבוע]] היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי <math>\,\!\chi^2_n</math> (כלומר עם n דרגות חופש) הוא משתנה מקרי <math>\,\!\Gamma(1/2, n/2)</math>.
==ראו גם==
* [[התפלגות ארלנג]]
{{התפלגות}}
| |||