ויקיפדיה

שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 4:
להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:
 
==האינטגרל כאופרטורכ[[אופרטור ליניארי]]==
האינטגרל הינו אופרטור ליניארי.
 
יהי מספר סופי (קבוע) <math>n \in\mathbb{R}</math>של [[פונקציה|פונקציות]] [[אינטגרביליות]] בקטע <math>I</math>, <math>f(x)_n : A_n\rightarrow B_n</math>כאשר <math> A_n, B_n \subseteq \mathbb{R}</math>. מתקיים:
 
<math>\int (\sum_{i=1}^n \zeta_if(x)_i )dx=\sum_{i=1}^n \int\zeta_if(x)_i dx </math>
שורה 45:
{{הפניה לערך מורחב|אינטגרציה בחלקים}}
 
מקור שיטת אינטגרציה זו, היא בנגזרתב[[נגזרת]] של מכפלת פונקציות. יהיו <math>f(x): A\longrightarrow B</math> ו<math>g(x): C\longrightarrow D</math>שתי פונקציות [[מספר ממשי|ממשיות]] [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]] (<math>A,B,C,D,E,F\subseteq \mathbb{R}</math>), ופונקציה שלישית <math>h(x): E\longrightarrow F</math>שנתונה על ידי מכפלת שתי הפונקציות: <math>h(x)\equiv f(x)\cdot g(x):=fg</math>. כמו כן הנגזרת נתונה על ידי: <math>\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dx}\cdot g+ \frac{dg}{dx}\cdot f</math>. על ידי העברת אגפים נקבל:
 
<math>\frac{df}{dx}\cdot g=\frac{dh}{dx}-\frac{dg}{dx}\cdot f</math>, וכעת על ידי אינטגרציה נוכל לקבל את הביטוי: <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=\int (\frac{dh}{dx}-\frac{dg}{dx}\cdot f) </math>. נשתמש בעובדה שהאינטגרל הוא [[אופרטור ליניארי]], ונקבל: <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=\int \frac{dh}{dx}-\int \frac{dg}{dx}\cdot f </math>. בעצם, <math>\int \frac{dh}{dx}=h=fg </math>. מכאן נקבל את הנוסחה לאינטגרציה בחלקים <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=fg -\int \frac{dg}{dx}\cdot f </math>, או בכתיב ניוטוני <math>\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx</math>.
 
לחילופין נגדיר <math>\begin{matrix} u:=f(x) & du:=f'(x)dx \\ v:=g(x) & dv:=g'(x)dx \end{matrix}</math>, ועל ידי הצבה לאינטגרל נקבל <math>\int udv=uv-\int vdu</math>.
שורה 84:
 
== אינטגרלים של חזקות של פוקנציות טריגונומטריות ==
כל [[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה טריגונומטרית]] שהיא, ניתן להציג על ידי מנה או מכפלה של שתי הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות <math>\sin (x)</math> ו<math>\cos (x)</math>. ובכן, ישנה דרך לפתור כל אינטגרל מהסוג <math>\int \sin^m (x) \cos^n (x) dx</math>לכל <math>n,m \in \mathbb{Z}</math>.
 
{| class="wikitable"
שורה 133:
<math>\int \sin (x) \tan^2 (x) dx= \int \sin(x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})^2dx= \int \frac{\sin^2(x)}{\cos (x)} \sin (x)dx= \int \frac{1- \cos^2 (x)}{\cos (x)} \sin(x) dx=\begin{Bmatrix} \xi=\cos (x) \\ d\xi = - \sin (x) dx \end{Bmatrix}=-\int \frac{1-\xi^2}{\xi} d\xi=- \int\frac{d\xi}{\xi}+\int\xi d\xi=-\ln|\xi|+\frac{1}{2}\xi^2+C=- \ln (\cos(x))+\frac{1}{2}\cos^2 (x)+C</math><div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;"></div>
 
== [[השלמה לריבוע ]]==
טכניקת ההשלמה לריבוע יעילה במקרים מסוימים מאוד. יהי אינטגרל <math>\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}</math> כאשר <math>a,b,c \in\mathbb{R}, a\neq0</math>. נרצה להציג את המכנה כביטוי ריבועי ועוד קבוע, ובכך נקל באופן משמעותי על פתרון הבעיה. על ידי הוצאת גורם משותף <math>\frac{1}{a}</math> ניתן להביא את האינטגרל לצורה <math> \alpha \int \frac{dx}{x^2+ \beta x +\gamma}</math>. כעת נרצה להציג את המכנה כריבוע שלם ועוד מספר קבוע ולשם כך ניעזר בנוסחאותב[[נוסחאות הכפל המקוצר]] למעלה השניה. כאשר נביא את האינטגרל לצורה <math>\Alpha \int \frac{dx}{(x+\Beta)^2+\Gamma}</math> נוכל לבצע הצבה <math>\xi:=x+\Beta , d\xi=dx</math> ולהעביר את האינטגרל למשתנה החדש <math>\Alpha \int \frac{d\xi}{\xi^2+\Gamma}</math> והפתרון <math>\frac{\Alpha}{\sqrt{\Gamma}} \arctan(\frac{\xi}{\sqrt{\Gamma}})+C=\frac{\Alpha}{\sqrt{\Gamma}} \arctan(\frac{x+\Beta}{\sqrt{\Gamma}})+C</math>.
 
== אינטגרלים של פונקציות רציונליות ==
יהיו שני [[פולינום|פולינומים]] <math>P_n(x)</math> (פולינום מסדר <math>n</math>) ו<math>Q_m(x)</math>(פולינום מסדר <math>m</math>). [[פונקציה רציונלית]] היא כל פונקציה מהצורה <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>. במקרים רבים, יש צורך בחישוב האינטגרל של פונקציות מסוג זה. ישנן שתי שיטות שמיועדות לשני מקרים שונים שעוזרות לפתור את האינטגרלים מהסוג הזה.
 
=== <u>[[שבר חלקי|פירוק לשברים חלקיים]]</u> ===
שיטה זו משמשת במקרים בהם <math>n<m</math>, כלומר כאשר הפולינום במונה מסדר נמוך יותר מהפולינום במכנה (או בצורה פשוטה יותר: כשבמכנה מופיעה חזקה גבוהה יותר מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לפרק את המנה של הפולינומים למנות קטנות יותר של איבר ליניארי או קבוע, באיבר לינארי או ריבועי.
 
שורה 146:
זאת אומרת שנרצה להציג את <math>Q_m(x)</math>כמכפלה של ביטויים מהצורה <math>(ax+b)</math>ו <math>(ax^2+bx+c)</math>. לאחר שהמכנה פורק, נפרק כבר את כל הביטוי. נניח שיש לנו מספר שברים עם מכנים שונים. כאשר נבצע מכנה משותף נקבל שבר אחד שבמכנה שלו תהיה מכפלה של כל המכנים של השברים הראשוניים. זאת אומרת שאם במכנה יש מכפלה של ביטויים, ניתן להפריד כל ביטוי לשבר נפרד, וכל מה שישאר זה למצוא את האיברים שמופיעים במונים של השברים.
 
* אם במכנה יש ביטוי [[פונקציה ליניארית|ליניארי]] <math>(ax+b)</math> שמופיע במכנה פעם אחת בלבד, ניצור ממנו שבר מהצורה <math>\frac{A}{{\displaystyle (ax+b)} }</math>.
* אם במכנה יש ביטוי ליניארי <math>(ax+b)</math>שמופיע במכנה יותר מפעם אחת בלבד, כלומר במכנה מופיע ביטוי מהצורה <math>{\displaystyle (ax+b)} ^k</math>, ניצור ממנו שברים מהצורה <math>\sum_{i=1}^k \frac{A_i}{{\displaystyle (ax+b)} ^i}=\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{{\displaystyle (ax+b)} ^2}+...+\frac{A_k}{{\displaystyle (ax+b)} ^k}</math>.
* אם במכנה יש ביטוי [[פרבולה|פרבולי]] <math>(ax^2+bx+c)</math>שמופיע במכנה פעם אחת בלבד, ניצור ממנו שבר מהצורה <math>\frac{Ax+B}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} }</math>.
* אם במכנה יש ביטוי ליניארי <math>(ax^2+bx+c)</math>שמופיע במכנה יותר מפעם אחת בלבד, כלומר במכנה מופיע ביטוי מהצורה <math>{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^k</math>, ניצור ממנו שברים מהצורה <math>\sum_{i=1}^k \frac{A_ix+B_i}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^i}=\frac{A_1x+B_1}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} }+\frac{A_2x+B_2}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^2}+...+\frac{A_kx+B_k}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^k}</math>.
 
לאחר שהביטוי הראשוני פורק בצורה לעיל, יש לבצע מכנה משותף (ולזרוק אותו), לפתוח את כל הסוגריים ולקבץ ביטויים עם אותה החזקה, כלומר להביא את הביטוי למצב <math>\alpha_0 x^0+\alpha_1x^1+...+\alpha_nx^n</math>. למעשה הביטוי הזה, צריך להיות שווה בדיוק לפולינום <math>P_n(x)</math>(מפני שזרקנו את המכנה שהיה <math>Q_m(x)</math>) וכדי למצוא את הפרמטרים שהצבנו בעת פירוק השבר הראשוני לשברים מצומצמים יותר, נשווה את המקדמים של האיברים עם החזקות הזהות בפולינום <math>P_n(x)</math> ובפולינום אליו הגענו <math>\alpha_0 x^0+\alpha_1x^1+...+\alpha_nx^n</math>. לאחר שנפתור את מערכות המשוואות שיתקבלו, נקבל שברים עם מכנה לכל היותר ריבועי, שהאינטגרציה עליהם הרבה יותר פשוטה.
 
=== <u>[[חילוק פולינומים]]</u> ===
שיטה זו יעילה במקרים בהם <math>n\geq m</math>,כלומר כאשר הפולינום במכנה מסדר נמוך יותר או שווה לפולינום במונה (או בצורה פשוטה יותר: כשבמונה מופיעה חזקה גבוהה יותר (או שווה) מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לחלק את הפולינום <math>P_n(x)</math> בפולינום <math>Q_m(x)</math>ולמצוא את השארית של החלוקה ,ובכך להציג את המנה של הפולינומים כמכפלה של מספר גורמים, ועוד ביטוי כלשהו, שהוא שארית החלוקה. למעשה, אם בשיטה של הפירוק לשברים חלקיים אנחנו טוענים כי הפולינום במכנה מסדר גבוה יותר ולכן ניתן לפרק את הביטוי לשברים פשוטים יותר שבכל אחד מהם המכנה מסדר גבוה יותר, בשיטה של חילוק פולינומים אנחנו טוענים את ההפך. כלומר, היות והפולינום במונה מסדר גבוה יותר אפשר לחלק אותו בפולינום מהמכנה (לצמצם אותם אחד בשני), ולקבל ביטוי פשוט. לדוגמה:
 
שורה 228:
 
== שימוש בטורי חזקות ==
לא בכל המקרים ניתן להציג פונקציה בצורה האלמנטריתה[[פונקציה אלמנטרית|אלמנטרית]] שלה <math>f(x)</math>אלא באמצעות [[טור חזקות]] אינסופי. לכן לא תמיד אפשרי לחשב אינטגרל של פונקציה מסוימת. במקרה שכזה נרצה להציג את הפונקציה כטורכ[[טור טיילור|טור מקלורן]] (ניתן לבחור גם בטור טיילור סביב ערך מתאים) ובצעולבצע אינטגרציה על כל איבר לחוד. לאחר ביצוע [[אלגוריתם]] זה, לפעמים, ניתן יהיה להחזיר את הטור לצורה של פונקציה אלמנטרית, ולפעמים לא.
 
* <u>דוגמה:</u> נרצה לחשב את האינטגרל <math>\int \frac{\ln (x+1)}{x}dx</math>. לא ניתן לחשב בשום דרך פרט לפירוק לטורילטור מקלורן. הטור ללוגוריתם הטבעי ידוע היטב ונתון על ידי<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1</math>. כעת נרצה לחלק כל אחד מהאיברים ב<math>x</math>:
 
<math>\frac{\ln (1+x)}{x}= \frac{1}{x}\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{x^{n}}x{}=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1} </math>.
שורה 241:
 
# הפונקציה שהתקבלה כפתרון האינטגרל שחיפשנו, לא ניתנת לכתיבה בצורה של פונקציה אלמנטרית
# היות וטורו[[טור טיילור]] מתאר מציג את הפונקציה <math>\ln(1+x) </math> אך ורק בקטע <math>(-1,1)</math>ולא עבור כל <math>x \in \mathbb{R}</math>ולכן פתרון האינטגרל מתאים אך ורק בתחום זה. עבור ערכים שאינם בתחום זה לא קיים פתרון לאינטגרל.
 
==שיטת ההצבה==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/שיטות_למציאת_אינטגרלים_לא_מסוימים"