אינטגרציה בחלקים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←דוגמאות לשימושים: הגהה, ניסוח |
מ הגהה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Integration by parts v2.svg|ממוזער]]
ב[[אנליזה מתמטית]], '''אינטגרציה בחלקים''' היא [[שיטות אינטגרציה|שיטת אינטגרציה]] שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור [[נגזרת|נגזרות]]. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של [[אינטגרל]] של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה ו[[פונקציה קדומה|הפונקציה הקדומה]] של השנייה.
באמצעות [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק [[אינטגרל
==ניסוח פורמלי==
שורה 11:
==בחירת הפונקציה הקדומה והנגזרת==
▲למרות שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.
ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה <math>f(x)</math> על פי הרשימה הבאה, בסדר יורד:
נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות בתחתית הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים.
▲* [[לוגריתם|פונקציות לוגריתמיות]] כדוגמת lnx, logx
▲* [[הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות|פונקציות טריגונומטריות הפוכות]] כדוגמת arctanx, arcsecx
▲* [[פולינום|פונקציות פולינומיות]] כדוגמת <math>x^2\!</math>, <math>3x^{50}\!</math>
▲* [[טריגונומטריה|פונקציות טריגונומטריות]] כדוגמת sinx, cosx
▲* [[פונקציה מעריכית|פונקציות מעריכיות]] כדוגמת <math>e^x\!</math>, <math>13^x\!</math>
▲נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות בתחתית הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים. יחד עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.
==דוגמאות לשימושים==
שורה 29 ⟵ 27:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל <math>\int xcos(nx)dx</math> ולכן בהתאם לנוסחה ובהמשך ל"כלל האצבע" נבחר את המשתנים שלנו כך:
המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו:
<math>f(x)=x</math>,
ולכן נגדיר בהתאם:
<math>f'(x)=dx</math>,
ומכאן נקבל:
<center>
<math>x\frac{sin(nx)}{n}-\int \frac{sin(nx)}{n}dx =
</center>
'''דוגמה נוספת:'''
שורה 59 ⟵ 53:
</math>
</center>
== ממדים גבוהים ==
שורה 66 ⟵ 59:
באופן מדויק יותר, נניח כי Ω היא [[תת-קבוצה]] [[קבוצה פתוחה| פתוחה]] [[קבוצה חסומה| וחסומה]] של <math>\R^n</math> עם שפה חלקה Γ. אם ''u'' ו ''v'' הן דיפרנציאביליות ברציפות ב[[סגור (טופולוגיה)| סגור]] של Ω אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י:
:<math>\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d\Omega = \int_{\Gamma} u v \, \nu_i \,d\Gamma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, d\Omega,</math>
כאשר <math>\hat{\mathbf{\nu}}</math> הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל <math>\Gamma</math> ו: <math>\mathbf{\nu}_i</math>
== ראו גם ==
▲* [[אינטגרל]]
▲* [[כלל לייבניץ]]
▲* [[שיטות אינטגרציה]]
{{אנליזה מתמטית}}
==קישורים חיצוניים==
*
[[קטגוריה:אינטגרלים|בחלקים]]
| |||