הלמה של ניימן-פירסון – הבדלי גרסאות

ב[[בדיקת השערות]] [[סטטיסטיקה|סטטיסטית]], '''הלמה של ניימן-פירסון''' היא [[למה (מתמטיקה)|למה]] שפותחה על ידי ה[[סטטיסטיקאי]]ם [[יז'י ניימן]] ו[[אגון פירסון]], והיא מצביעה על מבחן בין [[השערה סטטיסטית|השערות]] פשוטות, אשר לו ה[[עוצמה סטטיסטית|עוצמה]] הגדולה ביותר מבין כל המבחנים בעלי אותה [[רמת מובהקות|רמת המובהקות]] <math>\alpha</math> (או נמוכה יותר). במילים אחרות, היא מבטיחה את קיומו של מבחן שהוא טוב יותר מכל ה"מתחרים" שלו, ומציעה דרך לבנות אותו.

 

 

==הוכחה==

יהי <math>\mathcal{R}_{NP}</math> אזור הדחייה אשר מוגדר על פי הלמה, כלומר:

:<math>\mathcal{R}_{NP}=\left\{\bold{X}: \frac{L(\bold{X};\theta_1)}{L(\bold{X};\theta_0)} > k_\alpha\right\}</math>

<math display="block">\ \ \operatorname{Pr}_\theta\left(\mathcal{R}_{A}\right)=\operatorname{Pr}_\theta\left(\mathcal{R}_{A}\backslash \mathcal{R}_{NP}\right)+\operatorname{Pr}_\theta\left(\mathcal{R}_{NP}\cap \mathcal{R}_{A}\right)</math>

 

 

<math display="block">\begin{align}

& = 0

\end{align}</math>

 

 

<math display="block">\operatorname{Pr}_{\theta_1}\left(\mathcal{R}_{NP}\backslash \mathcal{R}_{A}\right) > \operatorname{Pr}_{\theta_1}\left(\mathcal{R}_{A}\backslash \mathcal{R}_{NP}\right)</math>

 

באופן דומה, בתוך <math>\mathcal{R}_{A} \backslash \mathcal{R}_{NP}</math>,

 

ועל כן,

<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>

כנדרש.

 

==לקריאה נוספת==