מתנד הרמוני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: אידיאל, לעיתים, \1ליניארי |
אילן מינקין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 6:
מתנד הרמוני, בפרט מתנד הרמוני פשוט, הוא אחת המערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר ב[[פיזיקה]]. זוהי מערכת פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה פיזיקלית ([[מכניקה קלאסית]], [[תרמודינמיקה]], [[מכניקת הקוונטים]], [[תורת היחסות]] ועוד) המשמשת ככלי עזר חשוב בלימוד התאוריות השונות והבנתן. יתרה מכך, מסתבר שניתן לקרב מערכות רבות ומורכבות - שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט - על ידי מתנדים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף לפתרון מקורב לבעיה.
==
[[קובץ:Mass-Spring.PNG|שמאל|ממוזער|300px]]
אוסצילטור הרמוני פשוט, הינו מערכת בה פועל כח מחזיר בלבד, שכן כשמו הוא מנסה להחזיר את המערכת לנקודת שיווי המשקל שלה, לאחר שזו סטתה ממנו. באופן כללי משוואת האוסצילטור ההרמוני הינה משוואה דיפרנציאלית מהצורה <math>\ddot \xi + \omega^2 \xi=0</math> כאשר <math>\xi</math>הוא הגודל המחזורי, ו<math>\ddot \xi</math> הוא הנגזרת השנייה בזמן של הגודל המחזורי.
כאן נסקור את בעיית האוסצילטור ההרמוני במכניקה הקלאסית. כח מחזיר, הוא כח מהצורה <math>F=-kx</math> כאשר <math>k</math> הוא קבוע המאפיין את המערכת כמו למשל קבוע הקפיץ בחוק הוק, ו<math>x</math> הוא העתק המסה מנקודת שיווי המשקל.
:: <math> \ddot x + \omega_0 ^2 x = 0</math>▼
ניתן לרשום את החוק השני של ניוטון עבור המערכת הבנויה ממסה המחוברת לקפיץ, תוך כדי כתיבת התאוצה בדרך מעט שונה <math>a= \ddot x</math>:
<math>\ \omega_0^2 </math>▼
<math>-kx=m \ddot x</math>. נשים לב, כי המסה תסומן באות <math>m</math>. כעת, נחלק את שני אגפי המשוואה ב<math>m</math> ,נגדיר <math>\omega^{2}_0=\frac{k}{m}</math> ונעביר אגפים כדי לקבל את המשוואה <math>\ddot x+ \omega^{2}_0 x=0</math>.
'''<u>נשים לב לנקודות הבאות:</u>'''
* הגודל <math>\omega_0</math> חיובי, היות והמסה חיובית תמיד, וכך גם קבוע הקפיץ
* הגודל <math>\omega_0</math> הינו גודל קבוע, היות והמסה או קבוע הקפיץ אינם משתנים (הערה: אם המסה משתנה, משוואת הכוחות שכתבנו קודם לכן, אינה מתאימה ויש להיעזר בפיתוח המשוואה למסה משתנה)
משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר שני, שכדי לפתור אותה, נכתוב את הפולינום האופייני של המערכת: <math>\lambda^2+ \omega^{2}_0 =0</math>. משוואת הפולינום האופייני תיפתר על ידי נוסחת השורשים, ושורשיה נתונים על ידי <math>\lambda=\pm \omega_0 i</math> כאשר <math>i</math> הוא היחידה המדומה. כידוע לנו, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית, תהיה מהצורה <math>x(t)=\alpha e^{\lambda_1 t}+\beta e^{\lambda_2 t}</math>. על ידי הצבת הפתרונות של הפולינום האופייני נקבל <math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}</math>. וכעת ישנה בעיה חדשה. הפתרון אינו פונקציה ממשית במלואה. כלומר, חלק מהפתרון מרוכב. העתק המסה הינו גודל ממשי לחלוטין, ולכן עלינו לקחת רק את החלק הממשי של הפתרון. לשם כך, נעזר במשפט דה-מואבר כדי לפשט את הפתרון:<math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}=\alpha (\cos(\omega_0 t)+i \sin(\omega_0 t))+\beta (\cos(\omega_0 t)-i \sin(\omega_0 t))=\alpha \cos(\omega_0 t)+\beta \cos(\omega_0 t)+\alpha i \sin(\omega_0 t)-\beta i \sin(\omega_0 t)=\cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)+i \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>כעת ניתן להפריד את החלק הממשי והחלק המדומה. נשים לב כי <math> \mathfrak{R} \mathfrak{e} \{x(t)\}= \cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)</math> ו<math> \mathfrak{I} \mathfrak{m} \{x(t)\}= \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>. כפי שאמרנו, ניקח רק את החלק הממשי. נגדיר <math> \alpha+\beta=A</math> ונכתוב את הפתרון אליו הגענו: <math> x(t)= A \cos (\omega_0 t)</math>. כדי להגיע לפתרון המלא אשר יתאר באופן יותר כללי ונרחב את האוסצילטור ההרמוני, נוסיף הזזה אפשרית בתוך הפונקציה, ונאמר שהפתרון הכללי הינו <math> x(t)=A \cos(\omega_0 t+\phi)</math>.
כעת, לאחר שמצאנו את הפתרון המלא, נרצה מעט לחקור אותו. כידוע לנו, פונקציית הקוסינוס (בערך מוחלט) לא עולה מעבר ל<math> 1</math>, לכן, הגודל שסימנו באות <math> A</math>מאפיין את נקודות ההתרחקות המקסימלית של המערכת מנקודת שיווי המשקל. גודל זה יקרא '''אמפליטודה''' ולרוב יחושב מתנאי ההתחלה. למשל, אם ידוע שקפיץ נמתח באורך מסוים, אורך זה יהיה האמפליטודה.
<math>\ x(t) = X_0 \cos ( \omega_0 t + \phi) </math>.▼
ה'''פאזה''' שתסומן באות <math> \phi</math>, תימצא גם היא מתנאי ההתחלה. גודל זה מאפיין את ההזזה של פונקציית הקוסינוס. מבחינה פיזיקלית, הפאזה תופיע, אם מדידת הזמן החלה לא בדיוק ברגע בו שוחררה המסה ממנוחה.
כעת נבחן את מקרה פשוט יותר של האוסצילטור, בו אין פאזה. במקרה כזה, העתק המסה נתון על ידי המשוואה <math> x(t)=A \cos (\omega_0 t)</math>. היות והפונקציה המתארת את העתק המסה הינה פונקציה טריגונומטרית כלשהית, ניתן להסיק כי התנועה מחזורית. אם כך, קיים זמן <math> T</math> מינימלי, שדרוש כדי שהמערכת תשלים מחזור אחד (תבצע תנועה אחת שלמה) ותחזור לאותה הנקודה ממנה התחילה. כידוע לנו, המחזור של פונקציית הקוסינוס הוא <math> 2 \pi</math>, ולכן נדרוש שכאשר נציב את <math> T</math> לתוך הפונקציה, הארגומנט של הפונקציה, יהיה שווה ל<math> 2 \pi</math>. כלומר, נדרוש שיתקיים <math> 2 \pi = \omega_0 T</math>.[[קובץ:Xva.png|שמאל|ממוזער|300px|[[העתק (פיזיקה)|העתק]], [[מהירות]] ו[[תאוצה]] בתנועה הרמונית פשוטה. בדוגמה זו <math>\ \phi </math> (המופע) היא אפס. אנו רואים, למשל, כי לאחר רבע זמן מחזור ההעתק הוא מקסימלי וחיובי, התאוצה מקסימלית ושלילית, והמהירות מתאפסת. לאחר חצי זמן מחזור ההעתק והתאוצה מתאפסים, והמהירות מקסימלית ושלילית.]]מכאן נקבל את הזמן המינימלי הדרוש למערכת כדי לבצע תנועה אחת שלמה ולחזור לנקודה ממנה החלה התנועה, ומעתה הוא יקרא בשם '''זמן מחזור''': <math> T= \frac{ 2 \pi}{\omega_0}</math>.
וכן, ה'''תדירות''' של המערכת, לפי הגדרתה <math> f=\frac{1}{T}</math> תוצג כ<math> f=\frac{\omega_0}{2 \pi}</math>. בגלל הקשר המיוחד בין התדירות לגודל <math> \omega_0</math>, הוא יקרא מעתה והלאה בשם '''תדירות זוויתית'''. התדירות הזוויתית, וכך גם התדירות נקבעות אך ורק על ידי מאפייני המערכת, ואינם תלויות בזמן או בגדלים משתנים אחרים).
לאחר שהתקבל פתרון המתאר את תנועת המסה במרחב, על ידי גזירת המשוואה נקבל את מהירות המסה כפונקציה של הזמן, ועל ידי גזירה פעם נוספת, תתקבל התאוצה. כלומר, שלושת המשוואות אשר יתארו את התנועה הן:
</math>
כעת, נרצה לדבר על האנרגיה של המערכת. עבור מסה המחוברת לקפיץ, סך האנרגיה נתון על ידי סכום של אנרגיה קינטית של המסה כפונקציה של הזמן, ואנרגיה פוטנציאלית אלסטית כפונקציה של הזמן. על ידי הצבת הגדלים שמצאנו למשוואת האנרגיה, ניתן לקבל את הדבר הבא:
<math> E(t)= \frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m(-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi ))^2+\frac{1}{2}kA\cos(\omega _{0}t+\phi ))^2=\frac{1}{2}mA^2 \omega^{2}_0 \sin^2(\omega _{0}t+\phi )+\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega _{0}t+\phi )=\frac{1}{2}A^2m \frac{k}{m}\sin^2(\omega _{0}t+\phi )+\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega _{0}t+\phi )=\frac{1}{2}kA^2(\sin^2(\omega _{0}t+\phi )+\cos^2(\omega _{0}t+\phi ))=\frac{1}{2}kA^2 </math>קיבלנו כי האנרגיה לא באמת תלויה בזמן, אלא בכל נקודה בזמן היא שווה לגודל קבוע. מכאן, שהאנרגיה נשמרת.
הניתוח שביצענו כאן היה בעבור אנרגיה של אוסצילטור הרמוני הבנוי מקפיץ, אך קיימות מערכות נוספות, ללא קפיץ בהן יכולות להיות אוסצילציות. גם במקרה כזה ניתן לטעון כי האנרגיה נשמרת, על ידי הטענה שכח מחזיר הוא כח משמר. כלומר, העבודה שלו אינה תלויה במסלול, והרוטור של כח זה, שווה לאפס. וכמובן שניתן להוכיח זאת עבור כל כח מחזיר.
מתוך משוואות שימור האנרגיה, ניתן לראות שכאשר כל האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, האנרגיה הקינטית מקסימלית. למעשה, הנקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, היא בדיוק נקודת שיווי המשקל (באנלוגיה של הקפיץ, האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר הקפיץ רפוי, כלומר כאשר המערכת בשיווי משקל). לכן, המהירות מקסימלית, בנקודת שיווי המשקל.
במכניקה הקלאיסת, משוואת האוסצילטור ההרמוני יכולה להיות משוואת מומנטים (היא מתקבלת על ידי בחירת נקודה קריטית במערכת לא נקודתית לרוב וכתיבת כל מומנטי הכח הפועלים ממנה, תוך כדי מתן תשומת לב לכיוון המומנט. בדרך משוואת מומנטים תוביל אותנו למשוואת אוסצילטור על זווית כלשהי במערכת כפונקציה של הזמן), משוואת כוחות (היא מתקבלת בדרך כלל על ידי כתיבת החוק השני של ניוטון על מערכת של נקודה אחת לרוב) או משוואת אנרגיה גזורה (היא מתקבלת על ידי גזירת המשוואה המתארת את האנרגיה של המערכת והשוואתה לאפס. ניתן לעשות זאת, בגלל שימור האנרגיה. היות והאנרגיה נשמרת, היא שווה לקבוע כלשהו שנעלם בעת הגזירה).
==מתנד הרמוני מרוסן==
| |||