תורה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות

'''דוגמה'''. נבנה שפה מסדר ראשון עם שני יחסים, האחד אונארי (כלומר, בעל מקום אחד) שנסמן ב- P, והשני בינארי, שאותו נסמן ב- A. הפסוק <math>\ \exists y : (P(y) \andland A(x,y))</math> אינו יכול לשמש כאקסיומה, משום שיש לו משתנה חופשי (x). הפסוק

* <math>\ \forall x (\neg P(x) \implies \exists y : (P(y) \andland A(x,y)))</math>

* <math>\ \forall x \forall y\forall z(A(x,z)\andland A(y,z)\implies P(z))</math>

* <math>\ \forall x (x*1=x \andland 1*x=x)</math> (קיום [[איבר יחידה]]);

* <math>\ \forall x \exists y (x*y=1 \andland y*x=1)</math> (קיום [[איבר הופכי]]).

תורה שבה לא ניתן [[הוכחה (לוגיקה מתמטית)|להוכיח]] אף פסוק מן הצורה <math>\ \phi \andland \neg \phi</math> נקראת [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|תורה עקבית]]. בתורה שאיננה עקבית אפשר להוכיח '''כל''' פסוק, ולכן קשה למצוא בכאלה עניין רב. תורה שבה, לכל פסוק נטול משתנים חופשיים, אפשר להוכיח את הפסוק או את שלילתו, נקראת [[שלמות|תורה שלמה]]. תורה שיש לה מודל יחיד (עד כדי איזומורפיזם) מ[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] <math>\ \kappa</math> היא <math>\ \kappa</math>-קטגורית. תורה שאין לה מודלים סופיים והיא <math>\ \kappa</math>-קטגורית (לאיזשהי עוצמה אינסופית הגדולה או שווה לעוצמת השפה) היא שלמה.