משפט בוהר-מולרופ – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
YuvalKnoll (שיחה | תרומות) יצירת דף עם התוכן "באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולורופ הוא משפט הקרוי על שם הארלד בוהר|הראלד..." |
YuvalKnoll (שיחה | תרומות) |
||
שורה 13:
כאשר נשאיף בנוסחה <math>\delta \rightarrow 0,\Delta \rightarrow \infty</math>נקבל <math>\Gamma^2({{x+y}\over{2}}) \leq \Gamma(x)\Gamma(y)</math>.
נוציא לוג ונקבל כי <math>\ln(\Gamma({{x+y}\over{2}})) \leq {{1}\over{2}}\ln(\Gamma(x)) + {{1}\over{2}}\ln(\Gamma(y))</math> וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.
בכיוון השני, תהי f פונקצייה שמקיימת דרישות אלו נוכיח שהיא יחידה ( יש כזאת כי הראנו שפונקציית גמא היא כזאת).
מהדרישה <math>f(x+1) = xf(x)</math>נקבל [[אינדוקציה מתמטית|באינדוקציה]] כי <math>f(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)</math>. בפרט לכל n מס' טבעי נקבל <math>f(n)=(n-1)!</math> (כי נתון ש <math>f(1) = 1</math>).
נסמן ב <math>S(x,y)</math>את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות <math>(x,\ln(f(x))),(y,\ln(f(y)))</math>. f היא לוג קמורה ולכן S היא עולה בשתי המשתנים עבור x<y. לכן לכל <math>0 < x \leq 1</math> ולכל n מס טבעי נקבל:
שורה 26:
נציב את הערך של f למספרים טבעיים:
שורה 38 ⟵ 39:
<math>{(n-1)}^x(n-1)! \leq f(n+x) \leq {n}^x(n-1)!</math>
נציב את הביטוי שקיבלנו עבור <math>f(n+x)</math>ונקבל:
<math>{(n-1)}^x(n-1)! \leq (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x) \leq {n}^x(n-1)!</math>
שורה 46 ⟵ 47:
<math>\frac{{(n-1)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} \leq f(x) \leq \frac{{n}^x(n)!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})</math>
נשים לב כעת ששני האי שיוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן
<math>\frac{{n}^xn!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} \leq f(x) \leq \frac{{n}^x(n)!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})</math>
שורה 56 ⟵ 57:
== תוצאות נוספות ==
המתמתיקאי Wielandt<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Reinhold Remmert|שם=Wielandt's Theorem About the Γ-Function|כתב עת=The American Mathematical Monthly
Vol. 103, No. 3 (Mar., 1996), pp. 214-220 (7 pages)}}</ref> הוכיח כי פונקציית גאמא היא ה[[פונקציה הולומורפית|פונקצייה הולומורפית]] בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים
== קישוריים חיצוניים ==
| |||