שיטת הדלתה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 4:
נשאיר את זה לאחר כך
==
תהי <math>X_n</math> סדרה של משתנים מקריים בעלת התפלגות אסימפטוטית נורמלית, ובאופן פורמלי <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>, כאשר <math>\theta</math> ו-<math>\sigma^2</math> קבועים ממשיים, ו-<math>\xrightarrow{D}</math> מציין התכנסות בהתפלגות. כן תהא <math>g</math> פונקציה הגזירה בנקודה <math>\theta</math> כך ש-<math>g'(\theta)</math> רציפה ו-<math>g'(\theta) \ne 0</math> אזי: <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2\cdot[g'(\theta)]^2)}</math>.
'''הוכחה:''' על פי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] (משפט ערך הביניים) קיים <math>\tilde\theta</math> כך ש-<math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta)</math>, כך ש-<math>\tilde\theta</math> נמצא בין <math>X_n</math> ובין <math>\theta</math>. (זהו למעשה פיתוח טיילור של <math>g</math> סביב <math>\theta</math>.)
נסדר מחדש את האיברים ונכפיל ב-<math>\sqrt{n}</math>, ונקבל כי <math>\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta]</math>.
שורה 14 ⟵ 16:
כזכור, על פי תנאי המשפט <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>, ולכן על פי משפט סלוצקי מקבלים כי <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2\cdot[g'(\theta)]^2)}</math>.
הערה: ניתן להוכיח כי השגיאה בקירוב שואפת בהסתברות לאפס. כן קיימת גירסה רב מימדית.
==דוגמאות==
===ריבוע התוחלת===
על פי משפט הגבול המרכזי, הממוצע של <math>n</math> משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת <math>\mu</math> ושונות סופית וחיובית <math>\sigma^2</math> מתפלג אסימפטוטית נורמלית, כלומר <math>\sqrt{n}[\bar{X}_n-\mu]\xrightarrow{D}N(0, \sigma^2)</math>. תהי <math>g(x)=x^2</math>, ןלכן <math>g'(x)=2x</math>. מכאן נקבל כי ל-<math>\bar{X}_n^2</math> יש התפלגות אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת <math>\mu^2</math> ושונות <math>\frac {4\mu^2\sigma^2} {n}</math>.
===רגרסיה לוגיסטית===
| |||