בעיית מונטי הול – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 109.253.220.16 (שיחה) לעריכה האחרונה של KotzBot |
מ קידוד קישורים, קישור למקור, עיצוב |
||
שורה 5:
הבעיה קרויה על שם [[שעשועון]] הטלוויזיה האמריקאי המצליח "[[Let's Make a Deal]]" בהנחיית [[מונטי הול]]. בסוף התוכנית מציגים בפני השחקן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן מצוי פרס יקר ערך - מכונית - ומאחורי שתי הדלתות האחרות - [[עז הבית|עזים]]. השחקן מעדיף כמובן את המכונית, אבל הוא אינו יודע איזו דלת מסתירה אותה, ונאלץ לבחור באקראי. אם יבחר בדלת הנכונה, יזכה בפרס; אחרת, לא יקבל דבר.
וזוהי הבעיה:
* לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, פותח אחת משתי הדלתות האחרות, ומגלה מאחוריה עז. כעת מאפשרים לשחקן להחליט האם לדבוק בבחירה המקורית שלו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה שנותרה סגורה.
ניתוח פשטני של הסיטואציה מציג בפנינו את הדילמה הבאה: מצד אחד, הסיכוי שהשחקן בחר בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לשחקן שום דבר שלא ידע מראש, ולכן הסיכוי שהדלת שבחר היא הנכונה צריך, לכאורה, להשאר שליש, כשהיה.
מצד שני, לאחר שהמנחה פתח את הדלת שלו, נותרו שתי דלתות סגורות, ורק אחת מהן מסתירה את הפרס. לכן (אפילו מנקודת המבט של צופה חיצוני, שאינו יודע באיזו דלת בחר השחקן), הסיכויים שהפרס נמצא מאחורי הדלת הנותרת הם 1/2. גישה שלישית טוענת שעל הדלת שהמנחה לא פתח לא למדנו דבר - כך שהסיכוי שלה להסתיר את הפרס היה ונשאר 1/3, והסיכוי של הדלת עליה הצבענו אמור להיות 2/3.
כפי שיוסבר בהמשך, בניסוח הזה אין שום דרך לחשב את הסיכויים הנכונים, ועל כן נתגלו אי-הסכמות בין מי שניסו לחשב אותם בכל זאת. נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה{{הערה|1=כפי שהוא מופיע למשל ב-Understanding Probability, Henk Tijms, Cambridge University Press, 2004, בעיה 1.11; וראו ניתוח מפורט בסעיף 6.1.}}:
* לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחויב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות מאחוריה עז. כמקודם, השחקן צריך להחליט האם להשאר עם אותה דלת, או להחליף אותה באחרת.
שורה 17:
==מקורה של הבעיה==
השם "הבעיה של מונטי הול" ניתן לבעיה זו על ידי סטיב סלווין, לאחר שהציג אותה במאמר שפורסם בפברואר [[1975]] בכתב העת American Statistician, אף שבשעשועון המקורי אין בחירה חוזרת - לאחר שהשחקן בחר באחת משלוש הדלתות, מסתיים הסיפור.
שורה 27 ⟵ 26:
==ניתוח הגרסה הראשונה==
התשובה הנכונה לשאלה בגרסה הראשונה היא שאי אפשר לדעת מה עדיף. כפי שהבעיה מנוסחת שם, המנחה יכול היה שלא לפתוח אף דלת, ואולי אפילו יכול היה לפתוח את הדלת עם הפרס. מכיוון שכך, המנחה יכול להיות משתף פעולה ולהמליץ על החלפה רק אם השחקן טועה (עם מנחה כזה, הסיכויים להצליח בהחלפה הם 100%), או רודף סנסציות שממליץ על החלפה רק אם השחקן צודק (ואז הסיכויים להצליח בהחלפה הם 0).
▲התשובה הנכונה לשאלה בגרסה הראשונה היא שאי אפשר לדעת מה עדיף. כפי שהבעיה מנוסחת שם, המנחה יכול היה שלא לפתוח אף דלת, ואולי אפילו יכול היה לפתוח את הדלת עם הפרס. מכיוון שכך, המנחה יכול להיות משתף פעולה ולהמליץ על החלפה רק אם השחקן טועה (עם מנחה כזה, הסיכויים להצליח בהחלפה הם 100%), או רודף סנסציות שממליץ על החלפה רק אם השחקן צודק (ואז הסיכויים להצליח בהחלפה הם 0).
על ידי מיזוג שתי התכונות האלה, אפשר "לחשב" שהסיכויים להצליח בהחלפת הדלתות הם כל מספר שנרצה. גם כאן, הבעיה הופכת להיות סוגיה בפסיכולוגיה של מנחי טלוויזיה, ולא בהסתברות.
שורה 34 ⟵ 32:
==ניתוח הגרסה השנייה==
נקודת המפתח בגרסה זו היא מחויבות המנחה לפתיחת דלת שמאחוריה מסתתרת עז, מה שמשאיר במשחק שתי דלתות.
אם השחקן צודק בניחוש הראשון ובוחר במכונית (הסיכוי לכך הוא 1/3), החלפת הדלת תגרום לו להפסיד. ואם טעה ובחר בעז, המנחה פותח את הדלת השגויה האחרת, ומשאיר סגורה את הדלת הנכונה; במקרה כזה ההחלפה תבטיח לשחקן את הפרס, וזה קורה בסיכוי של 2/3.
היתרון של השחקן על-פני האורח שנכנס אחרי פתיחת הדלת הוא באינפורמציה שאינה ידועה לו: השחקן בחר את הדלת שלו כשהיא הייתה אחת משלוש, ולכן הסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/3. מבחינת האורח, דלת זו היא אחת משתיים, והסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/2. האבחנה הזו (איזו דלת נכונה בסיכוי 1/3 ואיזו נכונה בסיכוי 2/3) היא הדבר שהשחקן יודע והאורח אינו יודע. '''הסיכוי תלוי בנקודת המבט.''' נאמר שהאורח מצביע על אחת הדלתות. מבחינתו, הסיכוי שזוהי הדלת הנכונה הוא חצי. השחקן יודע שהסיכוי הוא שליש או שני שלישים (תלוי כמובן באיזו דלת מדובר). באותה עת, מבחינת המנחה הכל-יודע, הסיכוי הוא אפס או אחת.
שורה 43 ⟵ 41:
מכיוון שיש 2 עיזים ומכונית אחת, הסיכוי שבחרת בהתחלה עז גדול פי שניים מזה שבחרת מכונית (2/3). לכן שינוי הבחירה יזכה אותך במכונית בהסתברות כפולה, קרי 2/3.
במבט ראשון פתרון הבעיה נראה מנוגד לאינטואציה, ניתן גם להציג את הבעיה בצורה מעט אחרת, שהופכת את הפתרון לקל יותר להבנה:
*
*
*נניח שמתקיים אותו משחק עם אלף דלתות, כאשר בצידה השני של אחת מהן מסתתר פרס, ומאחורי 999 הדלתות הנוספות נמצאות עזים. בתחילה נבחר דלת, והמנחה יפתח עוד 998 דלתות נוספות, שבצידן השני
[[קובץ:מונטי הול.png|ממוזער|400px|תרשים המתאר את התשובה לבעיית מונטי הול בדומה לתרשים בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה"]]
==התייחסויות==
*
*
==ראו גם==
*[[פרדוקס המעטפות]]
*[[בעיית היפהפייה הנרדמת]]
*
== לקריאה נוספת ==
<div style="direction: ltr;">
*Eosenhouse, Jason. '''[https://books.google.co.il/books?id=cio1ViR8A7cC&printsec=frontcover&dq=Rosenhouse,+Jason+The+monty+hall+problem&hl=iw&sa=X&ved=0ahUKEwiP-seVtc_hAhULElAKHZ7ZAxkQ6AEIKzAA#v=onepage&q=Rosenhouse%2C%20Jason%20The%20monty%20hall%20problem&f=false The monty hall problem]'''. Oxford University Press, 2009. {{ISBN|0199709904}}
</div>
==קישורים חיצוניים==▼
{{מיזמים|ויקיספר=הסתברות/מבוא/נוסחת בייס/תרגילים}}
*
*
*
▲==קישורים חיצוניים==
▲* {{נסיכת המדעים|304|המכונית והעזים}}
▲* [http://greengross.wordpress.com/2009/02/25/%d7%91%d7%a2%d7%99%d7%99%d7%aa-%d7%9e%d7%95%d7%a0%d7%98%d7%99-%d7%94%d7%95%d7%9c/ הפסיכולוגיה של בעיית מונטי הול], פוסט ב[[בלוג]] של גיל גרינגרוז
*
▲* [http://people.hofstra.edu/steven_r_costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html ניסוי מחשב], המראה שמי שתמיד נשאר עם הדלת שלו זוכה בשליש מהפעמים, מי שתמיד מחליף דלת זוכה בשני שלישים מהפעמים, ומי שמגריל מחדש את הדלת שהוא בוחר אחרי שהמנחה פתח דלת אחת זוכה בממוצע בחצי מהנסיונות.
▲* [http://math.ucsd.edu/%7Eanistat/chi-an/MonteHallParadox.html הדמיית מחשב המאפשרת להריץ את המשחק מספר רב של פעמים]
▲* {{לא מדויק|111|הבעיה של מונטי הול}}
▲* [http://www.youtube.com/watch?v=9vRUxbzJZ9Y סרטון] המתאר את התופעה מערוץ AsapSIENCE ב[[יוטיוב]].
▲* [http://kleintech.info/%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%95%D7%A7%D7%A1-%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%98%D7%99-%D7%94%D7%95%D7%9C-2/ פרדוקס מונטי הול]
▲* {{MathWorld}}
==הערות שוליים==
| |||