חבורת התמורות הזוגיות – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[תת חבורה]] מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>\ n</math>, מחצית מבין <math>\ n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> הן בעלות [[סימן (תורת החבורות)|סימן]] <math>\ +1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>\ -1</math>. הקבוצה של <math>\ \frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>\ S_n</math>, שאותה מקובל לסמן באות <math>\ A_n</math>. בסימון זה משתמשים גם עבור הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].
 
כל תמורה אפשר לכתוב כמכפלה של [[חילוף (תורת החבורות)|חילופים]] (טרנספוזיציות). ניתן אמנם להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע. עם זאת, ה'''זוגיות''' של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. '''חבורת התמורות הזוגיות''' כוללת את התמורות שהן מכפלת [[מספר זוגי]] של חילופים. לדוגמה, היא כוללת את כל ה[[מחזור (תורת החבורות)|מחזורים]] באורך 3, בעלי הצורה <math>\ (abc)</math>. קבוצת המחזורים באורך 3 [[יוצרים של חבורה|יוצרת]] את <math>\ A_n</math>. אם <math>\ n\geq 4</math> אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה <math>\ (ab)(cd)</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שונים זה מזה.
 
חשיבותן הרבה של החבורות <math>\ A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>\ n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר. משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[חבורה פשוטה ספורדית|החבורות הספורדיות]], הן חבורות של [[מטריצה|מטריצות]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]].
משתמש אלמוני