הישר הממשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1ליניארי |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
== הישר כמרחב וקטורי ==
ניתן להתייחס לישר הממשי כמרחב וקטורי מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] 1 מעל [[מספר ממשי|שדה המספרים הממשיים]], בעל [[מכפלה פנימית]] (כפל מספרים ממשיים רגיל) וכך נקבל כי הישר הוא [[מרחב אוקלידי]]
שדה המספרים הממשיים הוא גם מרחב וקטורי מעל [[שדה המספרים הרציונליים]], מממד אינסופי.
==גודל==
בישר הממשי יש [[עוצמת הרצף|<math>\!\ \aleph</math>]] איברים, כלומר קבוצת הממשיים אינה [[קבוצה בת מנייה|
ההוכחה היא כדלקמן:
[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קבוצת הממשיים [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]], כלומר נוכל לרשום ברשימה אינסופית את קבוצת כל הממשיים בין 0 ל 1, נקרא לסדרה זו <math>R_n</math>.{{ש}}נותר להוכיח שקיימים מספרים ממשיים שלא שייכים לסדרה.{{ש}}בונים מספר כך: הספרה הראשונה ב[[השיטה העשרונית|פיתוח העשרוני]] של המספר שלנו תהיה ספרה שהיא לא הספרה הראשונה בפיתוח העשרוני של <math>R_1</math>, הספרה השנייה בפיתוח העשרוני תהיה ספרה שאיננה הספרה השנייה בפיתוח העשרוני של <math>R_2</math>, וממשיכים כך בצורה [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבית]].{{ש}}אנו יודעים כי המספר הסופי לא נמצא בסדרה, מכיוון שלמספר שלנו יש ספרה שונה במקום ה <math>n</math>-י לכל <math>R_n</math>.▼
▲בונים מספר כך: הספרה הראשונה ב[[השיטה העשרונית|פיתוח העשרוני]] של המספר שלנו תהיה ספרה שהיא לא הספרה הראשונה בפיתוח העשרוני של <math>R_1</math>, הספרה השנייה בפיתוח העשרוני תהיה ספרה שאיננה הספרה השנייה בפיתוח העשרוני של <math>R_2</math>, וממשיכים כך בצורה [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבית]].{{ש}}
== טופולוגיה בישר הממשי ==
כאשר מתייחסים לישר הממשי כ[[מרחב טופולוגי]], הטופולוגיה עליו מוגדרת כטופולוגיה המושרית מה[[מטריקה]] הטבעית של הערך המוחלט
הישר הממשי מהווה דוגמה יסודית לתכונות טופולוגיות רבות. לדוגמה הישר הממשי הוא [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]] אבל לא [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]], הוא [[מרחב מטרי שלם]], [[קשירות (טופולוגיה)|קשיר]], [[פרקומפקטי]] שמקיים את [[אקסיומות המנייה|האקסיומה השנייה של המנייה]]. בנוסף, הוא בעל מבנה של [[יריעה]] [[יריעה חלקה|חלקה]] ואף [[יריעה אנליטית|אנליטית]] באופן טריוויאלי, וכל מבנה אחר של יריעה חלקה שמוגדר עליו, ש[[הומאומורפיזם|הומאומורפי]] למבנה הטופולוגי הרגיל, [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפי]] למבנה הדיפרנציאלי הטריוויאלי.
| |||