משפט ההדדיות הריבועית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: גאומטרי, \1ליניארי, תאור\1 |
|||
שורה 15:
חוק זה מאפשר חישוב ישיר של סימן לז'נדר, ומאפשר לקבוע האם ישנו פתרון טבעי למשוואה מודולרית מהצורה <math>x^2\equiv a \!\!\!\pmod{p}</math> בעבור ''p'' ראשוני אי-זוגי; כלומר, במילים אחרות, לקבוע את "הריבועים המושלמים" מודולו ''p''. ב[[קריפטוגרפיה]], המשפט מאפשר גם להכריע בשאלה האם מספר ראשוני נתון ''p'' הוא [[שארית ריבועית]] מודולו מספר ראשוני גדול בהרבה ''q'' במהירות רבה יותר: בעוד שבדיקה נאיבית של כל הריבועים מודולו ''q'' עשויה לצרוך זמן חישוב רב, המשפט מאפשר לקצר משמעותית את הבדיקה באמצעות בדיקה של ''q'' מודולו ''p'' (כך שיש לבדוק רק ''p'' ריבועים). אף על פי כן, המשפט הוא תוצאה [[הוכחה קונסטרוקטיבית|לא-קונסטרוקטיבית]]: הוא לא מצביע על שיטה [[יעילות אלגוריתמית|יעילה]] למציאה של פתרון כזה.
המשפט נחשב לנקודת ציון בתורת המספרים הקלאסית ולתוצאה מפתיעה מאוד; בעוד שבעבור קונגרואנציות
[https://math.stackexchange.com/questions/3272384/gauss-quadratic-reciprocity-law]
}}.
מאז גאוס, הכללת חוק ההדדיות הייתה לבעיה מובילה במתמטיקה, ששיחקה תפקיד מרכזי בהתפתחות רבים מהכלים הטכניים של האלגברה, תורת המספרים, וה[[גאומטריה אלגברית|גאומטריה האלגברית]] המודרנית, כשתהליך זה הגיע לשיאו בניסוח [[חוק ההדדיות של ארטין]], [[תורת שדות המחלקה]] ו[[תוכנית לנגלנדס]]. בנוסף, מחקר מתמטי של המאה ה-20 העיד על יותר ויותר קשרים מעניינים של המשפט עם
[https://mathoverflow.net/questions/142914/gauss-linking-integral-and-quadratic-reciprocity]}}.
שורה 25:
בראייה היסטורית, המשפט הוא אחד הסימנים המובהקים להפיכתה של תורת המספרים למדע מגובש, שכן בעוד שתרבויות רבות הגיעו למידה מסוימת של ידע ותובנה על תבניות ריבועיות (עוד בימי הביניים), לא ניתן למצוא עדויות לרמה מתמטית שמתקרבת למשפט עד שלהי המאה ה-18. יוצא אחד מן הכלל הזה הוא [[פייר דה-פרמה]], אשר ניתן לראות כמה מטענותיו על הצגה של מספר ראשוני על ידי תבניות ריבועיות מסוימות כמרכיבות יחדיו את הטענה המכונה "משפט ההדדיות הריבועית". עם זאת, פרמה עצמו מעולם לא ניסח את המשפט במפורש. משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה במפורש בידי [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]] (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] ש[[הוכחה|הוכיח]] אותו במלואו לראשונה, בשנת [[1796]]. גאוס כינה אותו בשם "'''משפט הזהב'''", וניתן לראות עדות ל[[יופי מתמטי|חיבה שרחש לו]] בכך שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (ושתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו).
ההוכחה הראשונה שלו, ממאמרים 125-146 של ספרו "מחקרים אריתמטיים", הייתה [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבית]] באופיה. ההוכחה השנייה שלו, ממאמר 262 של ספרו זה, עשתה שימוש
מאז פורסמו הוכחות רבות נוספות; בשנת [[2000]] פורסם ספר שהכיל רשימה של לא פחות מ-196 הוכחות שונות.{{הערה|1=Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Franz Lemmermeyer, Springer, 2000.}} מאז פרסום זה עובד המחבר על חלקים נוספים לספרו ומספר ההוכחות המעודכן עומד בדצמבר 2009 על 233.{{הערה|1=[http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/rchrono.html Proofs of the Quadratic Reciprocity Law]{{כותרת קישור נוצרה על ידי בוט}}}}.
| |||