אובייקט חופשי – הבדלי גרסאות

:בקטגוריה C בעלת [[פונקטור נאמן]] F, אובייקט A נקרא חופשי ונוצר מקבוצה X (ביחס לשיכון e מ-X ל-{{d}} (F(A){{d}}, אם לכל אובייקט B ב-C ופונקציה f מ-X ל-(F(B קיים ויחיד מורפיזם g מ-A ל-B כך ש- f=F(g)∘e.

 

 

האינטואיציה להגדרה היא שאם יש לנו אובייקט A עם בסיס X, ואנחנו רוצים להוציא ממנו פונקציה (משמרת מבנה) למרחב אחר B, מצד אחד, אנחנו יכולים לתת לאיברי הבסיס כל ערך שנרצה (כי הם אינם משפיעים זה על זה), ומצד שני, ערכים אלו יקבעו את הפונקציה כולה (כי כל איבר אחר ב-A נוצר מאיברי X ולכן הפונקציה עליו נובעת מערכי הפונקציה על X).

לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לבנות חבורה חופשית מעל היוצרים a,b. כל האיברים בחבורה נוצרים על ידי כפל והופכי, לכן איברי החבורה מוכרחים להיות מילים מעל האלפבית a,b,a^-1,b^-1. כעת אפשר לנקוט בשתי דרכים:

* להסתכל על כל המילים שמקיימות שאין הופעות רצופות של a,a^-1 (בסדר כלשהו) או של b,b^-1. כעת יש גם להגדיר את הכפל: שרשור שתי המילים, וצמצום כל עוד אפשר.

 

הדרך השנייה בדרך כלל ישירה פחות, אך נוחה יותר.

* [[חוג חופשי]] בקטגוריית ה[[חוג]]ים, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של חוגים.

* כל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] בתורת הקבוצות, כאשר מורפיזמים הם פונקציות (היוצרים הם אברי הקבוצה).

* [[סריג חופשי]] בקטגוריית ה[[סריג (מבנה סדור)|סריגים]], כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של סריגים.

 

==ראו גם==