חסם (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
בורל-קנטלי (שיחה | תרומות) דיוק ניסוח והעשרת פסקה בנושא מקסימום ומינימום. תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''חסם''' של [[תת-קבוצה]] של [[סדר חלקי|קבוצה סדורה]] הוא [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] של הקבוצה הסדורה כך שמתקיים אחד משניים: או שהוא גדול או [[שוויון (מתמטיקה)|שווה]] לכל אחד מאברי התת-קבוצה, או שהוא קטן או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה. '''קבוצה חסומה''' היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע.
חסם יכול להיות שייך לקבוצה שאותה הוא חוסם, אך גם לא להיות שייך לה. למשל, חסם של הקבוצה {1,2,3} הוא 4, כי הוא גדול מכל אברי הקבוצה, אף שאינו שייך לקבוצה. לעומתו 3 הוא גם חסם של הקבוצה, וגם שייך לה.
אם קיים בקבוצה איבר שגדול מכל שאר איבריה הוא נקרא "מקסימום", ואם קיים איבר שקטן מכל שאר איברי הקבוצה הוא נקרא "מינימום". המקסימום, אם קיים, הוא החסם מלעיל הקטן ביותר, והמינימום הוא החסם מלרע הגדול ביותר. בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיימים מקסימום ומינימום, לדוגמה לכל קטע פתוח לא קיימים מינימום ומקסימום. עם זאת, תמיד קיימים סופרימום ואינפימום שמכלילים את תכונותיהם של המקסימום והמינימום במובן של היותם חסמים הדוקים.
לעיתים מחפשים את החסם "המדויק ביותר", במובן זה שהוא גדול או קטן מכל אברי הקבוצה כך שאין חסם "טוב יותר", כלומר כזה שנמצא בינו ובין אברי הקבוצה. לכל קבוצה חסומה של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] קיים חסם שכזה, ו[[הלמה של צורן]] מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.
| |||