אינפימום וסופרמום – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
הרחבה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Infimum illustration.svg|שמאל|ממוזער|250x250 פיקסלים|A set ''T'' of real numbers (red and green balls), a subset ''S'' of ''T'' (green balls), and the infimum of ''S''. Note that for finite, totally ordered sets the infimum and the [[נקודת קיצון|minimum]] are equal.]]
'''אינפימום וסופרימום''' הם מושגי יסוד באנליזה מתמטית. סופרימום הוא ה[[חסם (מתמטיקה)|חסם]] מלעיל הקטן ביותר של הקבוצה.
המושגים אינפימום וסופרימום דומים במידת מעט ל[[מקסימום גלובלי|מקסימום]] ו[[מינימום גלובאלי|מינימום]]. הסופרימום עשוי להיות גם מקסימום - [[אם ורק אם]] הוא שייך ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. באופן דומה, נאמר על אינפימום שהוא מינימום אם ורק אם הוא שייך לקבוצה.
שורה 7:
על פי [[אקסיומת השלמות]], לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמעלה קיים סופרימום. מאקסיומה זו נובע גם כי לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמטה קיים אינפימום.
== דוגמאות ==
=== אינפימום ===
*<math>\inf \{ 1,2,3,\ldots \} = 1</math>
*<math>\inf \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} = 0</math>
*<math>\inf \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^3 > 2 \} = \sqrt[3]{2}</math>
*<math>\inf \left\{ (-1)^n + \tfrac{1}{n} \mid n = 1,2,3,\ldots \right\} = -1</math>
=== סופרימום ===
*<math>\sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1\} = \sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\} = 1</math>
*<math>\sup \left\{ (-1)^n - \tfrac{1}{n} \mid n = 1,2,3,\ldots \right\} = 1</math>
*<math>\sup \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} = \sup A + \sup B</math>
*<math>\sup \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \} = \sqrt{2}</math>
| |||