מחלק משותף מקסימלי – הבדלי גרסאות

 

להגדרה הכללית יש חיסרון אחד בולט: ברוב החוגים, ישנם זוגות של איברים שאין להם מחלק משותף המרבי. בעיה אחרת היא שהמחלק המשותף המרבי, אם קיים כזה, אינו יחיד; ההגדרה מבטיחה רק ששני מחלקים משותפים מרביים לאותם שני איברים, יחלקו זה את זה (איברים המחלקים זה את זה נקראים "ידידים"). מכיוון שאיברים ידידים יוצרים את אותו [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]], אפשר לטפל בבעיה זו על ידי ניסוח ההגדרה בשפה של אידיאלים:

 

ישנם [[תחום שלמות|תחומי שלמות]] מיוחדים, שבהם תמיד קיים מחלק משותף מרבי. אחת הדוגמאות היא [[תחום פריקות יחידה]]: בחוג כזה, אפשר לכתוב כל זוג איברים a ו- b כמכפלות <math>\ a=u p_1^{t_1}\dots p_n^{t_n}</math> ו- <math>\ b=v p_1^{s_1}\dots p_n^{s_n}</math>, כאשר u,v הפיכים ו- <math>\ p_1,\dots,p_n</math> הם ראשוניים של החוג, שאינם ידידים זה לזה. במקרה זה, המחלק המשותף המרבי הוא <math>\ p_1^{\min(t_1,s_1)}\dots p_n^{\min(t_n,s_n)}</math>.