משפט ארו – הבדלי גרסאות

 

חוקה (מנגון שקלול) המקיימת את שלוש הדרישות הבאות תוגדר כ'''חוקה הוגנת''':

* אין '''דיקטטור''': לאף אדם אין כוח לקבוע את הדירוג הקיבוצי לבדו.

 

 

===דוגמה===

 

נסתכל על מספר שיטות לשקלול ההעדפות של החברים:

 

:שיטה זו אינה מוצלחת, כי היא מתעלמת מרצונותיהם של החברים. בפרט, היא לא עונה על ההגדרה של "שיטה הוגנת", משום שהיא אינה מכבדת קונצנזוס: אפילו אם כל החברים מעדיפים תירס על זיתים, השיטה האלפביתית בחרה עבורם זיתים ולא תירס.

 

:שיטה זו חשופה למניפולציות, משום שחבר שלטעמו זיתים עדיפים על תירס העדיף על פטריות, הרואה שלזיתים אין סיכוי להיבחר, עשוי להחליף את סדר העדיפויות של תירס וזיתים, על-מנת להבטיח את מקומו של התירס על-פני הפטריות שנואות נפשו. השיטה מתחשבת במקומה של האפשרות השלישית בבואה לדרג שתי אפשרויות אחרות.

 

:שיטה זו איננה הוגנת כלפי בני וגלית שאינם יכולים להשפיע על הזמנת הפיצה.

 

==הוכחת המשפט==

נניח כי אנו משתמשים בשיטה לשקלול העדפות שעומדת בשני התנאים הראשונים, ונוכיח כי קיים בה דיקטטור. את המשפט נוכיח באמצעות שני [[למה (מתמטיקה)|משפטי עזר]].

 

'''המשפט:''' אם כל אחד מהפרטים ממקם את אפשרות <math>\ b</math> בראש או בתחתית סדר ההעדפות שלו, אפשרות <math>\ b</math> תהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי.

 

 

נבנה חתך העדפות דומה לחתך הנתון, שבו אצל כל פרט, <math>\ c>a</math> (ניתן להשיג זאת תוך שימוש רק בהחלפות בין שתי אפשרויות אלה, שלא משפיעות על הדירוג היחסי של כל אחת מהן לעומת <math>\ b</math>, מאחר שאפשרות <math>\ b</math> נמצאת בראש או בתחתית סדר ההעדפות). נשקלל את ההעדפות בחתך ההעדפות החדש באמצעות השיטה ההוגנת שלנו.

* הדירוג היחסי של <math>\ a</math> לעומת <math>\ b</math> נשאר זהה אצל כל פרט. לפי דרישת האי-תלות בין אפשרויות לא רלוונטיות, עדיין <math>\ a>b</math>.

* הדירוג היחסי של <math>\ c</math> לעומת <math>\ b</math> נשאר זהה אצל כל פרט. לפי דרישת האי-תלות בין אפשרויות לא רלוונטיות, עדיין <math>\ b>c</math>.

* לפי דרישת הקונצנזוס, בשקלול ההעדפות בחתך החדש <math>\ c>a</math>.

 

'''משפט''':

נניח שישנם לפחות שלושה מועמדים. כל פונקציה המתאימה יחס על תת-קבוצה של אפשרויות לכל וקטור של יחסי העדפות שמקיימת את הדרישות הבאות היא דיקטטורה.

* מונוטוניות: אם A נבחר ביחס ההעדפות p ויש יחס ההעדפות שני q שבו מצבו של A אינו נגרע אז מצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה. כלומר אם מתקיים שלכל שחקן ולכל אפשרות B אם שחקן העדיף את A על B ב-p אז גם ב-q, גורר שמצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה.

'''הוכחה'''

עבור <math>\ K = 1</math> זהו [[משפט גיבארד-סתרסוויט]], ואם K הוא מספר המועמדים זהו משפט ארו.

 

נניח שהמשפט נכון עבור K ונוכיח אותו עבור <math>\ K + 1</math>.

אז f היא דיקטטורה ב-K האיברים הראשונים של שחקן i נניח בשלילה ש i לא דיקטטור באיבר האחרון

האיברים הראשונים i מעדיף את A על B אחרת B נבחר במקום יותר טוב מ <math>\ K + 1</math>, ובנוסף A לא נבחר.

אם i מחליף בסדר ההעדפות שלו בין A לאיבר ה K שלו אז A נבחר במקום ה K,

וB עדיין לא יכול להיבחר במקום טוב מ<math>\ K + 1</math>.

 

עכשיו נוכיח לפונקציה f כלשהי כזאת שמקיימת את הדרישות.

ולכן f היא דיקטטורה של שחקן i (שומרת על הסדר של יחס ההעדפות של שחקן i) אבל אולי מאפשרת לחברה להיות אדישה בין אפשרויות שלו.

מכיוון שלא בוחרים את כל המועמדים, כי אז זה משפט ארו והוכחנו, יש אפשרות אחרת C שלא נבחרה ולכן i ממקם אותה במקום גרוע מהמקום ה K,

נסתכל על יחס ההעדפות חדש בו i מחליף את מיקום C ,B ושם B לא נבחר כי i דיקטטור חלש.

==משמעויות נוספות==

בנוסף להשלכותיו של משפט ארו בתחום קבלת ההחלטות בקבוצה, למשפט השלכות גם בתחום קבלת ההחלטות על ידי אדם יחיד, כאשר מתייחסים אל [[קריטריון|קריטריונים]] במקום לפרטים בקבוצה. פרשנות זו של המשפט, עוסקת במקרה שבו אדם רוצה לקבוע סדר העדפות כללי בין מספר אפשרויות, על ידי שקלול סדרי העדפות בין אותן אפשרויות על פי קריטריונים שונים. טבעי שהאדם ירצה שהשקלול יענה על שתי הדרישות הבאות:

* '''כלל העליונות המוחלטת''': אם אפשרות א' עדיפה על אפשרות ב' לפי כל קריטריון, אזי אפשרות א' עדיפה על אפשרות ב' גם באופן כללי.

* '''אי-תלות בין אפשרויות לא רלוונטיות''': הדירוג היחסי של אפשרות א' לעומת אפשרות ב' בסדר ההעדפות הכללי יהיה תלוי אך ורק בדירוג היחסי של אפשרות א' לעומת אפשרות ב' לפי כל קריטריון (ולא בדירוגן ביחס לאפשרויות אחרות, למשל).

 

{| class="wikitable" border="1"

! width="20%" | בטיחות

! width="20%" | נוחות הנהיגה

! width="20%" | עלות התחזוקה

! width="20%" | מחיר

| 1

| 1